Постановка задачи минимизации. Определения

Пусть f(x) – действительная функция одной переменной, определенная на множестве Х .

Точка называется точкой глобального минимума функции f на множестве Х, если для всех выполняется неравенство .

Точка называется точкой локального минимума функции f, если существует такая δ-окрестность этой точки, что для всех , содержащихся в указанной δ-окрестности, выполняется неравенство .

Существуют различные постановки задачи минимизации. В самой широкой постановке требуется найти все точки локального минимума и отвечающие им значения f(x). В приложениях чаще всего возникает задача вычисления конкретной точки локального минимума или точки глобального минимума. Иногда представляет интерес только лишь минимальное значение целевой функции, независимо от того, в какой именно точке оно достигается. Чтобы применить один из алгоритмов минимизации, следует предварительно найти отрезок локализации.

Отрезок локализации – это отрезок, содержащий точку , на котором она является единственной точкой локального минимума.

Унимодальные функции.

Пусть f(x) – функция, определенная на [ A, B ]. Функция называется унимодальной, если на [ A, B ] существует единственная точка локального минимума функции f(x), причем функция f(x) строго убывает при х £ и строго возрастает при х ³ .

Для унимодальных функций справедливы следующие утверждения:

Утверждение 1. Если для всех х Î [ A, B ] выполнено условие f” (х) > 0, то функция унимодальна на отрезке [ A, B ].

Утверждение 2. Пусть f(х) – унимодальная функция на [ A, B ] и . Тогда:

1) если f (a) £ f (b), то Î [ A, b ];

2) если f (a) ³ f (b), то Î [ a, B ];

3) если f (a) ³ f (g) и f (g) £ f (b), то Î [ a, b ];

Утверждение 3. Если функция унимодальна на [ A, B ], то она унимодальна и на любом [c, d ] Î [ A, B ].

Далее приведём наиболее распространённые методы решения задачи одномерной минимизации.