Для бакалавров – заочников инженерного факультета 9 страница

Вероятность р = 1 – α называется доверительной вероятностью или надежно­стью оценки и задается близкой к единице, обычно 0,9; 0,95 или 0,99. Число α; на­зывается уровнем значимости. Границы доверительного интервала находятся с по­мощью статистик, которые являются случайными величинами. Следовательно, слу­чайны и границы интервала. Поэтому, говорят, что доверительный интервал накроет неизвестный параметр с доверительной вероятностью р.

В нашей задаче требуется найти доверительный интервал для неизвест­ного значения генеральной средней с надежностью 0,95. Как уже говорилось, оцен­кой генеральной средней является выборочная средняя , которая, в соответствии с ГИВД, рассматривается как сумма независимых и одинаково распределенных случайных величин . Если признак X распределен нормально с математическим ожиданием а и дисперсией , то доказано, что слу­чайная величина распределена тоже по нормальному закону - c тем же математи­ческим ожиданием а и дисперсией . Тогда случайная величина распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной единице, следовательно, вероятность того, что значения этой случайной величины по абсолютной величине не превзойдут числа Z_Р, вычисляется по формуле

Значения функции Лапласа находятся из таблиц. По условию задачи задана вероятность р = 0,95, следовательно, число находится из условия , , значение находим по таблицам. Итак, с вероятностью р = 0,95 можно утверждать, что выполняется неравенство .

Преобразуем это неравенство:

<a< ,

откуда получаем доверительный интервал для неизвестного параметра а, следовательно, исходное условие можно переписать в виде:

Р ( <a< )= .

Отметим, что в эти формулы входит , следовательно, ими можно пользоваться лишь в случае, когда генеральная дисперсия известна (что на практике бывает не всегда).

Предположим сначала, что генеральная дисперсия нам известна и равна = 32184, а =179,4.

а) Выборка объема 10 включает следующие значения признака X:

535, 278,312, 368, 327, 482, 318, 531, 554,898.

Для этой малой выборки найдем выборочные числовые характеристики.

(10) = (535 + 278 + 312 + 368 + 327 + 482 + 3 18 + 53 1 + 554 + 898) = 460,3;

;

= (535² +278² +312² +368² +327² + 482² +318² +531² +554² +898²)=

= 243193,5 =>

 

S ²(10) = 243193,5 – 211876,1 = 31317,4,

; = 186,5

Итак, выборочная средняя арифметическая (10)= 460,3, исправленная выборочная дисперсия исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение = 186,5. Сравнив их с соответствующими показателями генеральной совокупности, отметим, что они отличаются в сторону увеличения: а = 454, =32184, = 179,4.

б) Итак, найдем по выше приведенным формулам доверительный интервал для не­известного матожидания а при известной дисперсии =32184:

 

<a< ,

Подставляем значения:

<a< ,

или

349,1 < a < 571,5.

Итак, доверительный интервал (349,1; 571,5) с надежностью 95% накроет неизвест­ное математическое ожидание а. Заметим, что истинное математическое ожидание а = 454 оказалось внутри доверительного интервала.

В действительности на практике чаще всего генеральная дисперсия не из­вестна и, следовательно, вышеприведенными формулами пользоваться нельзя, т.е. нельзя пользоваться статистикой .

В этом случае воспользуемся следующей теоремой: пусть Х₁,Х₂,...,Х_п - неза­висимые случайные величины, распределенные одинаково по нормальному закону с математическим ожиданием а и дисперсией . Тогда случайная величина имеет распределение Стьюдента с п – 1 степенями свобо­ды.

Доверительный интервал с помощью этой теоремы строится следующим об­разом. Пусть признак X распределен нормально с математическим ожиданием (ге­неральной средней) а и дисперсией (генеральной дисперсией) . В нашем распо­ряжении имеется малая выборка объема п = 10. Результаты наблюдений х_1;...,х_п в со­ответствии с ГИВД будем понимать как независимые случайные величины Х₁,Х₂,…Х_п, одинаково распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием а и дисперсией . Тогда случайная величина распределена по закону Стьюдента с п – 1 степенями свободы. Если задана доверительная вероятность р = 1 — α, то можно по таблицам t -распределения Стьюдента с п – 1 степенями свободы найти границы интер­вала, для которого выполняется следующее условие:

Р ( < < )= .

Расписав это условие подробнее, получим формулу для определения искомого дове­рительного интервала:

Р ( < < ) = р,

Р ( < а < ) = р.

Таким образом, с вероятностью р можно утверждать, что доверительный интервал накроет неизвестную генеральную среднюю а.

Подставим в окончательную формулу данные нашедшего примера: (10)= 460,3; = 186,5; п = 10; = 0,95; = 2,262 (найдено по таблицам распределения Стьюдента). Получим

< а <

т.е.

326,9 < а < 593,7.

Итак, теперь мы утверждаем более слабое предложение: с надежностью 95% (или с вероятностью 0,95) интервал (326,9; 593,7) накроет неизвестное математическое ожидание а (генеральную среднюю).

Утверждение это действительно более слабое, т.к. доверительный интервал оказался шире, т.е. оценка оказалась грубее. Это естественная плата за потерю информации о генеральной дисперсии.

в) Для нахождения доверительного интервала для неизвестной дисперсии проводят аналогичные рассуждения, используя ГИВД - гипотетическую интерпретацию выборочных данных. В результате для выборки объема п =10 доверительный интервал имеет вид , где и находят по таблицам распределения из условий:

и .

Учитывая, что число степеней свободы k = п –1= 9, находим по указанным таблицам ; и получаем доверительный ин­тервал для неизвестной генеральной дисперсии

.

Заметим, что истинное значение генеральной дисперсии =32184, и оказалось внут­ри доверительного интервала.

 

Пример №33 (к задачам 251-260). Втаблице приведены данные опыта по изучению действия соотношения N:Р₂O₅:К₂О при питании рассады томатов на урожай плодов (ц/га). Каждое соотношение испытывалось на четырех участках. Методом дисперси­онного анализа изучить влияние соотношения на урожайность плодов. Установить существенность влияния фактора при уровне значимости 0,05.

Урожайность плодов томатов в зависимости от соотношения N:Р₂O₅:К₂О при питании рассады.

 

Соотношение N:Р2О5:К2О (уровни фактора F)	Повторности
				Средние
1:1:1 (F1)					463,5
1:2:1 (F2)					512,25
1:2:2 (F3)
2:1:1 (F4)
2:2:1 (F5)

Решение. Задачей дисперсионного анализа является изучение влияния одного или нескольких факторов на рассматриваемый признак. Факторами обычно называют внешние условия, влияющие на эксперимент. Если изучают влияние одного фактора F на результирующий признак X, то имеет место однофакторный анализ, которым нам необходимо научиться пользоваться. В условиях эксперимента фактор F может принимать различные значения, изменяться, или, как говорят, может варьировать на разных уровнях F_1,F₂,...., F_Р. Например, если требуется выяснить влияние удобрений на урожайность, то здесь результирующий признак X - урожайность, фактор F - удобрение, а уровни F_1,F₂,...., F_Р фактора - виды удобрений. Для большей достоверности на практике проводятся несколько испытаний, т.е. как говорят, осуществляют повторности. Будем предполагать, что число наблюдений для каждого уровня одинаково и равно п. Тогда результаты наблюдений можно свести в таблицу.

 

Исходные данные дисперсионного анализа.

 

Уровни фактора F	Повторности
			…….	п	Средние
F1	х11	х12	х13	…….	х1п
F2	х21	х22	х23	…….	х2п
…….	…….	…….	…….	…….	…….	…….
Fр	хр1	хр2	хр3	…….	хрп

Введем обозначения:

= =1,2,…,р; = = ,

т.е. - средняя арифметическая на i - м уровне фактора, - общая средняя арифметическая всех р · п наблюдений.

Мы уже видели, что мерой вариации признака является сумма квадратов отклонений значений признака от средней. Можно доказать следующий результат: = п· , т.е. Q=Q₁+ Q_2.

Сумма Q называется полной суммой квадратов отклонений. Отдельных наблюдений от общей средней. Слагаемое Q₁ называется рассеиванием по факторам, оно характеризует отклонение средних для факторных уровней от общей средней. Слагаемое Q₂ называется остаточным рассеиванием и характеризует расхождение между наблюдениями i-ro уровня, т.е. за счет неучтенных факторов. Таким образом, формула показывает, что общее рассеивание значений признака X, измеряемое суммой Q, складывается из двух компонент Q₁ и Q₂, характеризующих рассеивание под влиянием фактора F (Q₁) и остаточное рассеивание (Q₂) под влиянием неучтенных факторов.

С помощью Q, Q₁, Q₂ производится оценка общей, межгрупповой и внутригрупповой дисперсией:

Сравнивая дисперсию по факторам с остаточной дисперсией , по величине их отношения судят, насколько рельефно проявляется влияние фактора - в этом сравнении и заключается основная идея дисперсионного анализа.

Сравнение осуществляется с помощью отношения

F(k₁,k₂) = / = / ,которое является случайной величиной, имеющей F - распределение Фишера с k₁ = р - 1, k₂ = р(n-1) степенями свободы. Критическое значение критерия на заданном уровне значимости находят по таблицам.

Теперь обратимся к нашему примеру.

В нашей задаче р = 5, п = 4, рп = 20. Вычисляем среднюю арифметическую по каждому уровню фактора F.

= (454 + 470 + 430 + 500) = 463,5; = (502 + 550 + 490 + 507) = 512,25;

= 607; =424; = 440.

Общую среднюю вычислим по формуле

= = (463,5+ 512,25 + 607 + 424 + 440) = 489,35.

При вычислении факторной = Q₁ /(p ‒ 1) и остаточной = = Q₂ /p(п ‒ 1) дисперсий рекомендуется пользоваться формулами, упрощающими вычисления:

Q₁=п· -пр()²; Q₂= -п .

Подставляя данные задачи в формулы, получим:

= 454² + 470² + 430² + 500² + 502² + 550² + 490² + 507² +601²+670² + +550² + 607² + 407² + 412² + 475² + 402² + 41 8² + 470² + 460² + 412² = 4894209;

п· = 4(463,5² + 5 1 2,25² + 607² + 424² + 440²) = 4876229,2;

пр()² = 4 • 5 • 489,35² = 4789268,4;

= 21740,2; = 1198,65.

Теперь находим фактическое значение F_факт критерия Fпо формуле для F(k₁,k₂).
F_факт =21740,2/1 198,65 = 18,4. По таблицам F - распределения Фишера для к₁ = р ‒ 1 = 5‒ 1 = 4; к₂ = р(-1) = 5·3 = 15 степеней свободы при уровне значимости α = 0,05 находим критическое значение критерия: F_кp=3,08. Оказалось F_факт > F_кp, следовательно, факторная и остаточная дисперсии отличаются значимо на уровне значимости α = 0,05. Иначе говоря, фактор F - соотношение N:Р₂O₅:К₂О существенно влияет на урожайность плодов. В частности, из таблицы видно, что наибольшую урожайность дает соотношение 1:2:2 (третий уровень фактора F).

В заключение приведем некоторые извлечения из таблиц распределения Фишера-Снедекора, которые потребуются при выполнении контрольных работ.

р
п
k1
k2
Fкp	3,08	4,9	3,7	3,9	3,5

 

Пример 34 (к задачам 261-270). Имеются статистические данные по группе предприятий о зависимости годовой производительности труда Y в расчете на одного рабочего (тыс. руб.) от энерговооруженности X (квт.ч. на одного рабочего) на 10 предприятиях одной отрасли:

 

X	3,4	3,9	4,0	4,8	4,9	5,2	5,4	5,5	6,2	7,0
Y	8,4	8,8	9,1	9,8	10,6	10,7	11,1	11,8	12,1	12,4

 

Методом корреляционного анализа исследовать зависимость между этими признаками. Рассчитать коэффициенты регрессии и корреляции. Построить график корреляционной зависимости.

Решение. Построим диаграмму рассеивания. Для этого на оси абсцисс откладываем значения х_i, факторного признака X, а на оси ординат - соответствующие значения y_i результирующего признака Y. Получающиеся таким образом точки с координатами (х_i;y_i) образуют диаграмму рассеивания (см. рисунок) _.

 

Визуальные наблюдения позволяют высказать предположение о наличии линейном корреляционной зависимости, поскольку точки диаграммы рассеивания (иначе она называется корреляционным полем) как бы выстраиваются вдоль некоторой прямой линии. Итак, предполагаем, что между энерговооруженностью X (квт.ч. на 1 рабочего) и годовой производительностью труда Y (тыс. руб. на 1 рабочего) существует линейная корреляционная зависимость. Соответствующее уравнение прямой линии называется уравнением прямой регрессии Y на X и имеет вид:

,

где коэффициент регрессии ,

; ;

= ; = ; = ; = .

Выборочный коэффициент корреляции r определяется по формуле: