Определение криволинейного интеграла первого рода.

Рассмотрим в трехмерном пространстве с заданной декартовой системой координат ОXYZ некоторую кривую Г (см. рис. 1). Декартовы координаты точек кривой будем обозначать через .

 

Определение 1. Кривая, заданная уравнением

, , (1)

называется непрерывной кусочно-гладкой, если функции и непрерывны на отрезке и отрезок может быть разбит точками на конечное число отрезков таким образом, что на каждом из этих частичных отрезков функции и имеют непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в .

Рис. 1. К определению кривой.

Пусть на кривой Г , где , задана непрерывная функция , где – точка на кривой.

Рис. 2. Разбиение кривой Г.

 

Зададим разбиение T кривой Г точками , (см. рис. 2). На каждой из дуг выберем по произвольной точке с координатами (ξ k, η k, ζ k) и составим интегральную сумму:

, (2)

где Δ sk – длина дуги .

 

Определение 2. Криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой Г называется предел интегральной суммы (2) при бесконечном увеличении числа n точек деления и бесконечном уменьшении длин дуг , если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения T, ни от выбора точек на дугах:

(3)

Для криволинейного интеграла по замкнутой кривой Г используется иное обозначение:

Существование криволинейного интеграла устанавливает следующая теорема:

 

Теорема 1. Если Г – непрерывная кусочно-гладкая кривая и функция f (M) непрерывна на ней, то криволинейный интеграл первого рода (3) от функции f (M) существует и определен однозначно.

 

Теорема 2. Если кривая Г задана уравнениями (1), а функция непрерывна на этой кривой, то криволинейный интеграл первого рода от функции находится по формуле

(4)

 

Замечание. При использовании формулы (4) следует обращать внимание на то, чтобы при изменении параметра от до дифференциалы и были неотрицательными, поскольку выражение

задает элемент длины дуги, который отрицательным быть не может.

 

ПРИМЕР 1. Найти интеграл , где кривая Г – дуга окружности с центром в начале координат и радиуса 1 между точками А (0, 1) и В (1, 0). Введем на кривой Г параметризацию: . Тогда . Здесь модуль раскрывается со знаком «–» поскольку при интегрировании от точки А до точки В параметр изменяется в интервале от π /2 до 0 и, следовательно, . Применяя формулу (4), получим:

ПРИМЕР 2. На кривой Г, заданной параметрическими уравнениями , распределена масса с плотностью . Определить массу кривой. Кривая Г представляет собой два витка спирали (см. рис.3). Для определения ее массы воспользуемся процедурой, аналогичной применявшейся при введении понятия криволинейного интеграла. Проведем разбиение T кривой Г

точками на элементарные дуги . На каждой дуге выберем по точке и будем считать, что плотность кривой на этой дуге постоянна и равна значению ρ(Mk) плотности в точке . Тогда масса элементарной дуги равна произведению плотности на длину дуги: Δ mk = ρ(Mk)·Δ sk. Масса всей кривой равна сумме масс всех элементарных дуг: . Полученное выражение представляет собой интегральную сумму криволинейного интеграла первого рода функции ρ(М) по дуге Г.

С уменьшением длин дуг разбиения исходной кривой интегральная сумма приближается к искомой массе. В пределе получаем:

Рис.3. К примеру 2.

Замечание. В случае кривой на плоскости:

(5)

сохраняются определения и остаются справедливыми все теоремы, сформулированные выше. В соответствующих формулах нужно лишь убрать третью координату или ζ k.

ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл , где Г – четверть эллипса , лежащая в первом квадрате (см. рис. 5). Пусть для определенности . Введем параметризацию дуги: , . Тогда, используя теорему 2, получаем