Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
1) Основная формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода, по сути, содержится во второй формой записи этого интеграла:
А именно, пусть в пространстве задана параметризация кривой
причем, заданная ориентация на Г соответствует изменению параметра t от
(4) 2) В случае "двумерного" криволинейного интеграла второго рода данная формула вычисления выглядит уже не так громоздко:
3) Следующее формулы являются частными случаями предыдущих. Например, если на плоскости кривой Г задан явно:
4) Если же ориентированная кривая Г задана на плоскости в полярных координатах:
И поэтому формула для вычислений криволинейного интеграла второго рода в полярных координатах принимает такой вид:
Замечание. Часто путем интегрирования (или его частью) в криволинейном интеграле являются отрезок кривой. Если начало и конец отрезка расположены соответственно в точках
(5) причем t изменяется от
ПРИМЕР 1. Найти работу векторного поля
Рис. 11. К примеру 1.
Ориентация кривой Г соответствует убыванию параметра t от
|
и 
(возможно также, что 
). Тогда 
и
причем, ориентация кривой соответствует изменению 
от 
до 
(возможно, что a<b) то в качестве параметра выступает 
, где 
изменяется от 
до 
, то надо подставить формулы
и 
, то отрезок 
задаётся параметрическими уравнениями:
(точка 
) до 
(точка 
).
вдоль одного витка винтовой кривой Г: 
направление от точки 
до точки 
(см. рис. 11).
до 
. По формуле (4), искомая работа равна:
