Вычисление криволинейного интеграла второго рода.

1) Основная формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода, по сути, содержится во второй формой записи этого интеграла:

А именно, пусть в пространстве задана параметризация кривой

причем, заданная ориентация на Г соответствует изменению параметра t от и (возможно также, что ). Тогда и

(4)

2) В случае "двумерного" криволинейного интеграла второго рода данная формула вычисления выглядит уже не так громоздко:

3) Следующее формулы являются частными случаями предыдущих. Например, если на плоскости кривой Г задан явно: причем, ориентация кривой соответствует изменению от до (возможно, что a<b) то в качестве параметра выступает , и предыдущая формула принимает такой вид:

4) Если же ориентированная кривая Г задана на плоскости в полярных координатах:

, где изменяется от до , то надо подставить формулы

И поэтому формула для вычислений криволинейного интеграла второго рода в полярных координатах принимает такой вид:

Замечание. Часто путем интегрирования (или его частью) в криволинейном интеграле являются отрезок кривой. Если начало и конец отрезка расположены соответственно в

точках и , то отрезок задаётся параметрическими уравнениями:

(5)

причем t изменяется от (точка ) до (точка ).

 

ПРИМЕР 1. Найти работу векторного поля вдоль одного витка винтовой кривой Г: направление от точки до точки (см. рис. 11).

Рис. 11. К примеру 1.

 

Ориентация кривой Г соответствует убыванию параметра t от до . По формуле (4), искомая работа равна: