Криволинейный интеграл первого рода от векторной функции.

Обычно криволинейный интеграл вычисляется от скалярной функции f(x,y,z), т.е. скалярного поля, и назначением этого интеграла является число, т.е. тоже скаляр. Но в принципе, криволинейный интеграл первого рода можно находить и от векторной функции, т.е. от векторного поля. А именно, если в пространстве заданы кривая Г и векторное поле

то, по определению,

Понятно, что значение такого интеграла есть вектор.

 

Примеры на вычисление и приложения криволинейного интеграла первого рода.

ПРИМЕР 1. Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой , вокруг прямой .

Перейдем к полярным координатам: получим: Тогда кривая Г - это половина одной петли лемнискаты Бернулли (см. рис. 6). Расстояние от точки M(x,y) до прямой выражается формулой:

В данном случае

По формуле (2), площадь поверхности вращения равна

Рис. 6. К примеру 1. Рис. 7. К примеру2.

 

ПРИМЕР 2. Вычислить ньютонов потенциал окружности массой M в точке плотность в любой точке окружности пропорциональна расстоянию от этой точки до оси OX.

Параметризуем окружность: (см. рис. 7):

Тогда, как легко проверить,

Плотность линии в точке N(x,y) равна Найдем коэффициенты , для чего вычислим массу окружности:

откуда .

Поэтому, по формуле (3), потенциал в точке P равен:

Для вычисления этого интеграла сделаем замену:

Тогда: