Вычисление площади с помощью криволинейного интеграла второго рода.

В п.2.5.было установлено, что работа силового поля при перемещении материальной точки вдоль кривой Г выражается криволинейным интегралом второго рода по этой кривой. Применение криволинейного интеграла второго рода к решению физических задач будет изложено в теории поля. Покажем, что криволинейный интеграл может быть использован для вычисления площади плоской фигуры. Пусть D -некоторая область (правильная) с границей L и S - площадь этой области. Рассмотрим криволинейный интеграл Применив к нему формулу Грина, где получим

Аналогично получается другая формула

Можно получить иные формулы. Для этого достаточно выбрать функции и такими, чтобы они удовлетворяли условию

Так, если в интеграле положить то и

Следовательно,

(1)

Формула (1) отличается от предыдущих двух симметричностью формы.

 

ПРИМЕР 1. Вычислить площадь области, ограниченной астроидой (см. рис.16). Применяя формулу (1), получим

Рис.16. К примеру 1.

 

Формула Грина.

Если D - односвязная область, то AD (граница области D) - простая замкнутая кривая, обход по которой совершается против часовой стрелки. Если D – неодносвязна, то AD - совокупность замкнутых кривых, обход по которым совершается так, что D остается слева.