Непрерывно распределенные величины

Правило вычисления среднего непрерывно распределенной случайной величины можно получить, отправляясь от определения (15). Пусть случайная величина x принимает значения в интервале (xmin, xmax). Разобьем данный интервал на малые интервальчики длинами Dxk. Распределение вероятности приближенно опишется набором величин DPk, равных вероятностям того, что случайная величина x попадает в малый интервальчик под номером k. Тогда согласно (15) среднее значение величины x определится так:
(20)
Точность определения среднего тем выше, чем меньше длины интервальчиков Dxk. В пределе при Dxk®0 вероятности DPk выражаются через плотность распределения f(xk)
DPk=f(xk)×Dxk. (21)
Поэтому в пределе при Dxk®0 получаем
(22)

Одной из важных средних характеристик случайной величины является дисперсия. Она определяется следующей формулой:
(22)
Дисперсия характеризует разброс возможных значений случайной величины.

Для примера рассчитаем дисперсию x -проекции скорости молекулы в состоянии равновесия. Плотность распределения проекции скорости равна
(23)
Поскольку среднее значение проекции скорости равно нулю, дисперсия определится как
(24)

Вычисление сводится к математической процедуре, с которой полезно ознакомиться. Интеграл в правой части уравнения (24) имеет вид:
(25)
Его можно представить как
(26)
В свою очередь, интеграл
(27)
как функцию a можно вычислить с помощью искусственного приема. Введем
(28)
Переменные x и y можно рассматривать как декартовы координаты точки на плоскости. Перейдем в полярную систему координат. В этой системе интеграл выглядит так:
(29)
Поэтому
. (30)
Заметим, что
(31)
Тогда
(32)