Исследование влияния автомата контроля и коммутации на эффективность резервирования замещением

При наличии автомата контроля и коммутации структурная схема резервиро­ванной системы с кратностью m = 1 будет выглядеть так, как показано на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Структурная схема резервированной системы с автоматом контроля и коммутации

На рис. 4.3 приняты следующие обозначения:

· 1 - основная система;

· 2 - резервная система;

· АКК - автомат контроля и коммутации;

· λ - интенсивность отказа системы;

· λ1- интенсивность отказа автомата контроля и коммутации.

Вероятность безотказной работы системы P_c(t) можно представить в сле­дующем виде:

, (4.4)

где:

· τ - момент времени отказа основной системы;

· P(t) - вероятность безотказной работы основной системы в течение времени t;

· P(t- ) - вероятность безотказной работы резервной системы в течениевремени (t - τ), т. е. с момента замещения до t;

· - вероятность безотказной работы автомата контроля и коммутации в течение времени τ, т.е. до момента отказа основной системы;

· — производная от вероятности отказа основной системы в момент τ.

При λ = const выражения для составляющих в формуле (4.4) имеют вид:

(4.5)

Получим расчетные формулы с помощью Derive 5. Решение получим в такой последовательности выполнения команд:

§ ввести правые части выражений (4.5); пусть этим выражениям присвоены номера: #1, #2, #3 и #4;

§ получить производную от Q(t) с помощью кнопки Find Derivative панели инструментов (пусть производной присвоен #5);

§ ввести выражение #5*#2*#4;

§ образовать интеграл от последнего выражения с помощью кнопки Find Integral, не вычисляя первообразной (пусть интегралу присвоен #6);

§ ввести выражение #1 + #6;

§ получить решение с помощью кнопки Simplify или Approximate.

Упрощая полученное решение по переменной t с помощью кнопки Expand, окончательно получим формулу для вероятности безотказной работы в следующем виде:

Интегрируя P_c(t) от 0 до ∞ с помощью кнопки Find Integral, получим формулу для среднего времени безотказной работы системы. При этом следует иметь ввиду, что интеграл от P_c(t) существует лишь при условии, что λ и λ₁ действительны и положительны. Установим с помощью меню Declare| Variable Domain эти значения и проинтегрируем P_c(t). В результате интегрирования будет получена следующая формула для среднего времени безотказной работы системы:

Процедуры получения формул на экране имеют вид:

На рис.4.4 приведен график P_c(t) для случая λ = 3,8 и λ₁ = 0,05

Рис.4.4. Зависимость P_c(t) с учетом автомата контроля и коммутации при λ₁=0,05

Из графиков видно, что АКК снижает вероятность безотказной работы резервированной системы.