Состоятельность и несмещенность оценок

 

Качество оценок характеризуется следующими свойствами:

состоятельность,

несмещённость,

эффективность.

1. Состоятельность.

Оценка называется состоятельной оценкой параметра q, если она сходится по вероятности к параметру q при n®¥

Следующая теорема устанавливает достаточное условие состоятельности

Теорема 2.1. Если математическое ожидание оценки стремится к истинному значению параметра q, дисперсия стремится к нулю при n®¥ (M[ ]®q; D[ ]®0, n®¥), то - состоятельная оценка параметра q, т.е.

Доказательство: В соответствии с неравенством Чебышева имеем

При n®¥ по условиям теоремы: M[ ]®q; D[ ]®0, т.е. , а это и есть определение сходимости по вероятности, т.е. .

2. Несмещённые оценки.

Любая оценка T=T() является случайной величиной. Общим требованием к построению оценок является требование сосредоточенности распределения T около истинного значения оцениваемого параметра. Чем выше степень этой сосредоточенности, тем лучше соответствующая оценка.

Предположим, что параметр q - скалярный и введём понятие несмещённой оценки. Статистика T() называется несмещённой оценкой для параметра q, если выполняется условие

M_q[T()]=q (1)

для любого qÎQ.

Для оценок, не удовлетворяющих условию (1), введём величину

b(q)=M_q[T()]-q,

называемую смещением оценки T(). Можно считать, что несмещённые оценки - это такие оценки, для которых смещение b(q)=0, для любого qÎQ.

Величину

M_q[(T-q)²]=D_q[T]+b²(q) (2)

называют средним квадратом ошибки или среднеквадратической ошибкой оценки T. Для несмещённых оценок среднеквадратическая ошибка совпадает с дисперсией оценки.

Если оценивается параметрическая функция t(q), то статистика T=T() является несмещённой оценкой для t(q), если для любого qÎQ выполняется соотношение

M_q[T]= t(q) (3)

Для класса несмещённых оценок можно построить простую теорию, в которой критерием измерения точности оценки является её дисперсия. А в некоторых случаях требование несмещённости может оказаться очень "жёстким" и привести к нежелательным результатам – отсутствию оценки.

Простейший метод статистического оценивания – метод подстановки [или аналогии] состоит в том, что в качестве оценки той или иной числовой характеристики (среднего, дисперсии и др.) генеральной совокупности берут соответствующую характеристику распределения выборки – выборочную характеристику.

 

 

Вопрос