Определения и свойства выборочных характеристик

Пусть =(X₁,X₂,...,X_n) - выборка из распределения L (x). F(x) и F_n(x) - соответственно теоретическая и эмпирическая функции распределения. Точно так же, как функции F(x) ставят в соответствие F_n(x), любой теоретической характеристике можно поставить в соответствие ее статистический аналог G=G(), определяемый по формуле

.

Случайную величину G называют эмпирической или выборочной характеристикой, соответствующей теоретической характеристике g. Таким образом, выборочная характеристика - это среднее арифметическое значение функции g(x) для элементов выборки . Если g(x)=x^k, то G - выборочный момент k-го порядка, обозначается A_k

, (1.10)

(значение начального момента k-го порядка ).

При k=1 величину A_k называют выборочным средним и обозначают

.

Значения случайных величин A_k и для данной реализации выборки обозначают строчными буквами a_k и = a₁.

Выборочным центральным моментом k-го порядка называют случайную величину

,

(значение выборочного момента ).

При k=2 величину M_k называют выборочной дисперсией и обозначают S²= S²():

.

 

Замечания.

Выборочные моменты являются случайными величинами, поскольку являются функциями выборки.

Выборочные моменты имеют свои функции распределения и числовые характеристики.

Рассмотрим некоторые характеристики распределения среднего и S² выборки. Так как. X_i - независимы и распределены так же, как и наблюдаемая случайная величина x, то

; .

 

 

Вопрос