ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТЫ ВЫБОРОЧНОЙ ТЕОРИИ

 

Исходные статистические данные – результат наблюдения некоторой совокупности случайных величин =(X₁,...,X_n), характеризующей исход изучаемого эксперимента. Эксперимент, обычно, состоит в проведении n испытаний, в которых результат i-го испытания описывается случайной величиной X_i, (i=1,...,n).

Совокупность наблюдаемых случайных величин =(X₁,...,X_n) называется выборкой; величины X_i, (i=1,...,n) называются элементами выборки; их число n - объемом выборки.

Реализация выборки обозначается строчными буквами: =(x₁,...,x_n). Пусть ={ } – множество, на котором задано распределение случайного вектора , т.е. множество всех возможных значений выборки . Множество называется выборочным пространством. Выборочное пространство может быть либо n-мерным евклидовым пространством Rⁿ или его частью, (если - непрерывна), либо состоять из конечного или счетного числа точек в Rⁿ (если случайная величина - дискретна).

Под статистической моделью эксперимента в данном случае понимается набор (,P), где P - класс допустимых распределений случайных величин , заданных на . Распределение вероятностей любой случайной величины однозначно определяется ее функцией распределения, поэтому статистическая модель задается обычно в терминах допустимых функций распределения выборки .

Итак, статистическая модель определяется выборочным пространством и семейством функций распределения F, которому принадлежит неизвестная функция распределения (x₁,...,x_n)=P(X₁£x₁,...,X_n<x_n),-¥< x₁,...,x_n<+¥ выборки =(X₁,...,X_n).

Часто бывает ситуация, когда компоненты X₁,...,X_n независимы и все распределены так же, как и некоторая случайная величина x. Это соответствует эксперименту, в котором проводятся повторные независимые наблюдения над случайной величиной x. Здесь F_Xi(x_i)=F_x(x_i) для всех i=1,...,n и ()=F_x(x₁)... F_x(x_n).

Такую модель можно задать в терминах функции распределения F_x и тогда =(X₁,...,X_n) - выборка из распределения случайной величины x. Множество возможных значений x с распределением F_x называют генеральной совокупностью (или просто совокупностью), а - выборкой из этой совокупности. Обозначение таково: =(X₁,...,X_n) есть выборка из L (x), где L (x)– распределение x.

Если функции распределения из класса F заданы с точностью до значений некоторого параметра q с множеством возможных значений Q, то такая модель обозначается F ={F(x,q), qÎQ}, и называется параметрической.

Известен тип распределения наблюдаемой случайной величины в этом случае, но не известен параметр, от которого зависит распределение. Параметр q может быть как скалярным, так и векторным; множество Q называется параметрическим.

Пусть известно, что L (x) - нормальное распределение с известной дисперсией и неизвестным средним. Тогда статистическая модель имеет вид F ={F(x,q), qÎQ, Q=(-¥,¥)}, где функция распределения F(x,q) имеет плотность

, -¥<x<¥.

Если и дисперсия неизвестна, то статистическая модель имеет вид F ={F(x, ), =(q₁,q₂)ÎQ}, где Q={(q₁,q₂): -¥<q₁<¥, 0<q₂<¥} и F(x, ) имеет плотность

, -¥<x<¥.

Модель F ={F_x} называется абсолютно непрерывной или дискретной, если таковыми являются все составляющие класс F функции распределения. Рассматриваются только эти модели.

Будем использовать единое обозначение f_x(x)=f(x) (для параметрических моделей f(x,q)) как для плотности распределения случайной величины x в случае непрерывной модели, так и для вероятности Р(x=х) в случае дискретной модели.

 

 

Вопрос