Эмпирическая функция распределения

Распределение выборки (эмпирическое распределение) – это распределение вероятностей, которое определяется по выборке для оценивания истинного распределения.

Определим для каждого действительного х случайную величину m_n(x), равную числу элементов выборки =(X₁,...,X_n), значения которых не превосходят х, т.е.

, (.3)

где I(A) - индикатор события А {I(A)=1, если А имеет место, и 0 - в противном случае}. Положим F_n(x)= .

Функция F_n(x) называется эмпирической функцией распределения (э.ф.р.), соответствующей выборке . Функцию распределения F(x) наблюдаемой случайной величины x называют теоретической функцией распределения.

По своему определению эмпирическая функция распределения – случайная функция: для каждого хÎR¹ значение F_n(x) есть случайная величина, реализациями которой являются числа 0, 1/n, 2/n,..., (n-1)/n, n/n=1, при этом

P(F_n(x)=k/n)=P(m_n(x)=k).

 

Из определения m_n(х) следует, что L (m_n(х))=B_i(n,p), где p=P(x£x)=F(x). Поэтому

P(F_n(x)=k/n)=C_n^kF^k(x)(1-F(x))^n-k, k=0,1,...,n. (4)

 

Итак, эмпирическая функция распределения (как и вариационный ряд) - некоторая сводная характеристика выборки. Для каждой реализации выборки функция F_n(x) однозначно определена и обладает всеми свойствами функции распределения: изменяется от 0 до 1, не убывает и непрерывна справа. Она кусочно-постоянна и возрастает только в точках последовательности (1). Если все компоненты вектора различны (в последовательности (1) все неравенства строгие), то F_n(x) задается соотношениями

k=1,...,n-1

В этом случае величина скачка равна 1/n

В общем виде эмпирическую функцию распределения можно записать в виде

. (5)

В представлении (5) видна зависимость F_n(x) от выборки .

Эмпирическая функция распределения играет фундаментальную роль в обработке данных. Важное свойство эмпирической функции распределения состоит в том, что при увеличении объема выборки n происходит сближение F_n(x) с F(x).

Теорема 1.: Пусть F_n(x) - эмпирическая функция распределения, построенная по выборке =(X₁,...,X_n) из распределения L (x), и F(x) - функция распределения x. Тогда для любого х (-¥<x<+¥) и любого e>0

(6)

Доказательство: Из (4) следует, что F_n(x) - относительная частота события {x£x} – («успеха») в n испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха» F(x). Но по теореме Бернулли [относительная частота произвольного события в n независимых испытаниях сходится по вероятности при n®¥ к вероятности этого события], F_n(x) F(x), т.е. имеет место равенство (6)

Замечание.

Если объем выборки большой, то значение эмпирической функции распределения в каждой точке х может служить приближенным значением (оценкой) теоретической функции распределения в этой точке. Функцию F_n(x) называют еще статистическим аналогом для F(x).

 

 

Вопрос