Гистограмма и полигон частот

Итак, эмпирическая функция распределения – удобный способ представления статистических данных (выборки ). Он позволяет делать выводы о распределении наблюдаемой случайной величины x, когда оно неизвестно. По эмпирической функции распределения. F_n(x) при n®¥ со сколь угодно высокой точностью можно восстановить неизвестную теоретическую функцию распределения F(x).

Рассмотрим другие способы представления статистических данных. Пусть наблюдаемая случайная величина x дискретна и принимает значения x₁,x₂,... Представление о законе распределения x дадут частоты n_r/n, где n_r - число элементов выборки =(X₁,...,X_n), принявших значение x_r:

.

В этом случае, по теореме Бернулли, при n®¥

Пусть x - непрерывная случайная величина и имеет непрерывную плотность распределения f(x). Рассмотренную методику применим для оценивания неизвестной плотности. Это осуществляется с помощью метода группировки наблюдений (или метода группировки данных), который состоит в следующем.

Пусть {e_r} - некоторое разбиение области e возможных значений x: e= e_r, e_iÇe_j=Æ, i¹j и n_r= (X_jÎe_r) - число выборочных точек [элементов выборки =(X₁,X₂,...,X_n)], попавших в интервал e_r. Тогда при n®¥, по теореме Бернулли,

P(xÎe_r)= .

По теореме о среднем значении, последний интеграл равен ½e_r½f(x_r), где x_r некоторая внутренняя точка интервала e_r, а ½e_r½ - его длина. Обычно интервалы выбираются одинаковой длины, и если длина интервала мала, то в качестве x_r берут середину интервала. Поэтому можно считать ½e_r½f(x_r) или

. (1.9)

Построим теперь кусочно-постоянную функцию , при xÎe_r, r=1,2,..., называемую гистограммой. При n®¥ и достаточно мелком разбиении {e_r} гистограмма f_n(x) будет оценкой f(x) - теоретической плотности. Если плотность достаточно гладкая функция, то ее лучше приблизить кусочно-линейными графиками. Оценка гладких f(x) основама на построении полигона частот. Полигон частот - это ломанная, которую строят так: если построена гистограмма, то ординаты, соответствующие средним точкам интервалов, последовательно соединяют отрезками прямых. Такой кусочно-линейный график является статистическим аналогом (оценкой) теоретической плотности

 

 

Вопрос