Асимптотическое поведение выборочных моментов. Теорема Слуцкого

Рассмотрим поведение выборочных моментов A_k, определяемых равенством (1.10) при n®¥ [неограниченном возрастании n]. Чтобы подчеркнуть зависимость моментов A_k от n (объема выборки), будем использовать обозначение A_nk. Первые два момента случайной величины. A_nk определяются следующими равенствами: (предполагаем, что соответствующие моменты наблюдаемой случайной величины x существуют)

 

.(1.11)

 

На основании неравенства Чебышева отсюда следует, что при n®¥.

Таким образом, выборочный момент A_nk можно рассматривать в качестве приближенного значения (оценки) соответствующего теоретического момента a_k, когда число наблюдений n велико. Аналогичное утверждение справедливо и для выборочных центральных моментов и вообще для любых выборочных характеристик, которые имеют вид непрерывных функций от конечного числа величин A_nk.

Этот вывод является следствием общей теоремы о сходимости функций от случайных величин.

Теорема 1.5 (Слуцкого). Пусть случайные величины сходятся по вероятности при к некоторым постоянным соответственно. Тогда для любой непрерывной функции случайная величина .

Доказательство: Функция непрерывна, поэтому для любого найдется такое, что при , . Введем события , . Тогда событие влечет событие , где событие можно представить как . Отсюда (1.12)

Далее, из сходимости по вероятности случайной величины имеем, что для данного и любого γ>0 найдется такое, что γ/r при .

Пусть , тогда при выполняются все неравенства .Следовательно, из формулы (1.12) получим , отсюда имеем при n → ∞, что и требовалось доказать.

 

Вопрос