Асимптотическое поведение выборочных моментов. Теорема Слуцкого
Рассмотрим поведение выборочных моментов Ak, определяемых равенством (1.10) при n®¥ [неограниченном возрастании n]. Чтобы подчеркнуть зависимость моментов Ak от n (объема выборки), будем использовать обозначение Ank. Первые два момента случайной величины. Ank определяются следующими равенствами: (предполагаем, что соответствующие моменты наблюдаемой случайной величины x существуют)
На основании неравенства Чебышева отсюда следует, что Таким образом, выборочный момент Ank можно рассматривать в качестве приближенного значения (оценки) соответствующего теоретического момента ak, когда число наблюдений n велико. Аналогичное утверждение справедливо и для выборочных центральных моментов и вообще для любых выборочных характеристик, которые имеют вид непрерывных функций от конечного числа величин Ank. Этот вывод является следствием общей теоремы о сходимости функций от случайных величин. Теорема 1.5 (Слуцкого). Пусть случайные величины Доказательство: Функция Далее, из сходимости по вероятности случайной величины Пусть
Вопрос
|
.(1.11)
при n®¥.
сходятся по вероятности при 
к некоторым постоянным 
соответственно. Тогда для любой непрерывной функции 
случайная величина 
.
непрерывна, поэтому для любого 
найдется 
такое, что 
при 
, 
. Введем события 
, 
. Тогда событие 
влечет событие 
, где событие 
можно представить как 
. Отсюда 
(1.12)
имеем, что для данного 
и любого γ>0 найдется 
такое, что 
γ/r при 
.
, тогда при 
выполняются все неравенства 
.Следовательно, из формулы (1.12) получим 
, отсюда имеем 
при n → ∞, что и требовалось доказать.
