Оптимальные оценки. Теорема об оптимальности оценок

 

Пусть требуется оценить параметрическую функцию t=t(q) в модели F ={F(x;q),qÎQ} по статистической информации, доставляемой выборкой =(X₁,...,X_n). Пусть статистика Т=Т() удовлетворяет условию (3). Класс несмещённых оценок обозначим T_t. Таким образом, TÎ T_t тогда и только тогда, когда выполнено условие (3). Дополнительно предположим, что дисперсии всех оценок из класса T_t конечны:

для любых TÎ T_t и qÎQ.

В этом случае точность оценок можно измерять величиной их дисперсии и мы получаем простой критерий сравнения различных оценок из класса T_t. Если

(4)

то по критерию минимума дисперсии оценка Т^* равномерно (по параметру q) не хуже оценки Т; если же в (4) строгое неравенство выполняется хотя бы при одном q, то следует отдать предпочтение Т, как более точной оценке. Если условие (4) выполняется для любой оценки TÎ T_t, то Т^* называют несмещённой оценкой с равномерно минимальной дисперсией. Такую оценку для краткости называют оптимальной, и обозначают t^*, так как она относится к функции t(q).

Итак, оптимальной является оценка t^*Î T_t, для которой выполняется условие

D_qt^*= ,

Требование равномерной минимальной дисперсии сильное и не всегда имеет место. Однако оно выделяет оптимальную оценку в классе T_t однозначно, если такая оценка существует, о чём свидетельствует следующая теорема.

Теорема 2.2. Пусть Т_i=Т_i(), i=1,2 - две оптимальные оценки для t=t(q). Тогда Т₁=Т₂.

Доказательство рассматривать не будем.

 

Вопрос