Понятие статистической оценки

Пусть задана статистическая модель F ={F} для схемы повторных независимых наблюдений над случайной величиной x и =(X₁,...,X_n) - выборка из распределения L (x)Î F. Рассматриваются различные функции T=T() от выборки, которые являются случайными величинами (т.е. для которых при всех t определены вероятности F_T(t)=P{T()£t}). Если при этом функция T не зависит от неизвестного распределения наблюдений, то её называют статистикой. Часто по выборке требуется сделать выводы об истинном значении g₀ неизвестной теоретической характеристики g=g(F) наблюдаемой случайной величины. Под этим понимается задача оценить это значение g₀, т.е. построить такую статистику T(), значение которой t=T() при наблюдавшейся реализации выборки можно считать разумным приближением (в каком-то смысле) для g₀: t» g₀.

В этом случае, говорят, что статистика T() есть оценка g. Так формируется задача точечного оценивания неизвестных параметров распределений.

Для оценивания характеристики g можно использовать различные оценки. Чтобы выбрать лучшую, надо иметь критерий сравнения качества (точности) оценок. Критерии могут быть разными, но любой критерий определяется выбором меры точности оценок (меры близости оценки к истинному значению оцениваемой характеристики). Класс оценок ограничивают некоторыми дополнительными требованиями.

Если определён некоторый класс оценок T_g и выбрана мера точности, то оценка TÎ T_g, oптимизирующая эту меру, называется оптимальной (в классе T_g).

Если модель F параметрическая: F ={F(x;q),qÎQ}, то любая теоретическая характеристика является функцией от параметра q, т.е. речь идёт об оценивании параметрических функций, которые обозначаются: t(q). Стремятся, чтобы области значений оценок T() и оцениваемой функции совпадали.