Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Достаточные статистики. Теорема факторизации Неймана - Фишера




Доверь свою работу кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Рассмотренные ранее критерии имеют ограниченную применимость по двум причинам:

1) они требуют жёстких условий регулярности исходной модели;

2) в лучшем случае позволяют находить оптимальные оценки для отдельных параметрических функций t(q). Более эффективным способом построения оптимальных оценок является использование достаточных статистик.

По определению статистика Т=Т( ) называется достаточнойдля модели F={F(x,q),qÎQ} (или для параметра q), если условная плотность (или вероятность в дискретном случае) L( |t;q) случайного вектора =(X1,...,Xn) при условии T( )=t не зависит от параметра q.

Эквивалентным определением достаточности является следующее: для любого события AÌ условная вероятность Pq( ÎA|T( )=t) не зависит от q. Это свойство статистики Т означает, что она содержит всю информацию о параметре q, имеющуюся в выборке.

Действительно, вероятность любого события, которое может произойти при фиксированном Т, не зависит от q, следовательно, оно не может нести дополнительную информацию о неизвестном параметре. Сама выборка , очевидно, является достаточной статистикой. Обычно стремятся найти достаточную статистику наименьшей размерности, представляющую исходные данные в наиболее сжатом виде. В этом смысле говорят о минимальной достаточной статистике. Такая статистика важна при обработке больших массивов статистической информации.

Достаточные статистики находят на основании следующей теоремы.

Теорема 2.4. (Неймана-Фишера, критерий факторизации). Для того чтобы статистика Т( ) была достаточной для q, необходимо и достаточно, чтобы функция правдоподобия L( ;q) имела вид:

L( ;q)=g(T( );q)h( ) (15)

где g - произвольная функция, которая зависит от параметра q и от выборочных значений через статистику; h-функция выборки, от параметра q не зависит.

Доказательство

Рассмотрим доказательство теоремы факторизации Неймана-Фишера для дискретной модели.

Если статистика достаточна при любом из области значений : , то функция не зависит от и ее можно записать в виде .

Пусть и , тогда событие ,

= = = = ,

т.е. выполняется представление (15). При получении данного выражения использовалась формула условной вероятности.

Верно и обратное. Пусть имеется факторизация (15). Тогда при любом , таком что :

= . (16)

При : =

= = (17)

В формуле (17) используется свойство: вероятность пересечения событий равна сумме вероятностей.

При все обращаются в нуль на множестве , исключая эти из рассмотрения и из выражения (17), получаем:

 

(18).

Подставив (17) и (18) в выражение (16), получим:

 

= ,

т.е. статистика достаточна, т.к. не зависит от .

Если же таково, что , то очевидно, что .

Таким образом, в любом случае, при любом : , условная вероятность не зависит от параметра . Доказательство для непрерывной модели аналогично.

Теорема 2.5. Если существует эффективная оценка, то существует и достаточная статистика.

Доказательство: Если эф=T(X) - эффективная оценка параметра q, то она удовлетворяет условию Рао-Крамера, т.е.

, т.е.

-

в таком виде представляется функция правдоподобия, а значит выполняется условие факторизации.

Замечание.

Если эффективная. оценка не существует, то достаточная статистика может существовать!

Итак, эффективная оценка существует только тогда, когда имеется достаточная статистика. Но достаточная статистика может существовать и при отсутствии эффективной оценки, т.е. условие достаточности является менее ограничительным, чем условие существования эффективной оценки.

Пример. Случайная величина x имеет нормальное распределение x~N(m,s). Найти достаточную статистику для оценки Mx.

Решение:

f(x,q)=

Запишем функцию правдоподобия и применим критерий факторизации (15)

L( ;q)=

h(x)= - зависит только от выборки;

g(T(x);q)= – зависит от выборочного значения через статистику.

T(X)= сумма элементов выборки – это статистика, достаточная для оценки математического ожидания.

 

Вопрос







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 2353. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.015 сек.) русская версия | украинская версия