Теорема об асимптотической нормальности и эффективности оценок максимального правдоподобия
1. Оценка максимального правдоподобия 2. При определённых условиях оценка максимального правдоподобия является асимптотически нормальной и эффективной. Теорема 3.3. Пусть функция правдоподобия L (x;q) а) дважды дифференцируема по параметру q и б) математическое ожидание от функции вклада равно нулю M[U(X;q)=0], в) кроме того –M
Тогда оценка максимального правдоподобия стремится к случайной величине
(дисперсия совпадает с дисперсией эффективной оценки). Здесь q0 - истинное значение оцениваемого параметра. Доказательство: Доказательство свойства асимптотической нормальности оценки МП (если рассматривать скалярный параметр) основывается на разложении функции вклада Un(q)=Un( Поскольку
где В силу состоятельности оценки и условий теоремы первая дробь равна 0. Поэтому
Левую и правую часть умножим на R(q0)
Вклад выборки определяется по формуле
U(X;q)= Рассмотрим знаменатель дроби:
в силу закона больших чисел, если элементы выборки независимы
Таким образом, знаменатель дроби стремится к 1. Рассмотрим числитель дроби. К случайной величине
применима центральная предельная теорема, по которой и с учётом соотношений:
i(q)= R(q0)( Сама оценка
Вопрос
|
º 
является состоятельной оценкой параметра q; т.е. 
q.
.
~N 
;q) в ряд Маклорена относительно истинного значения параметра q0.
,
Î(
.
.
= 
.
n®¥ в виду состоятельности оценки.
,
при n®¥
=g, так как g – линейная функция h.
