Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема об асимптотической нормальности и эффективности оценок максимального правдоподобия




Доверь свою работу кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

1. Оценка максимального правдоподобия º является состоятельной оценкой параметра q; т.е. º q.

2. При определённых условиях оценка максимального правдоподобия является асимптотически нормальной и эффективной.

Теорема 3.3.

Пусть функция правдоподобия L(x;q)

а) дважды дифференцируема по параметру q и

б) математическое ожидание от функции вклада равно нулю M[U(X;q)=0],

в) кроме того –M .

 

Тогда оценка максимального правдоподобия стремится к случайной величине

~N

(дисперсия совпадает с дисперсией эффективной оценки). Здесь q0 - истинное значение оцениваемого параметра.

Доказательство: Доказательство свойства асимптотической нормальности оценки МП (если рассматривать скалярный параметр) основывается на разложении функции вклада Un(q)=Un( ;q) в ряд Маклорена относительно истинного значения параметра q0.

Поскольку состоятельная оценка параметра q, то при достаточно большом объёме выборки (n>>1), она будет близка к истинному значению q0. Поэтому функция вклада может быть представлена в виде ряда Маклорена в окрестности точки q0.

 

,

где Î( ;q0)

В силу состоятельности оценки и условий теоремы первая дробь равна 0. Поэтому

.

Левую и правую часть умножим на R(q0)

.

Вклад выборки определяется по формуле

 

U(X;q)= = .

Рассмотрим знаменатель дроби:

в силу закона больших чисел, если элементы выборки независимы

n®¥ в виду состоятельности оценки.

Таким образом, знаменатель дроби стремится к 1.

Рассмотрим числитель дроби.

К случайной величине

применима центральная предельная теорема, по которой и с учётом соотношений:

,

i(q)= при n®¥

R(q0)( -q0)®h~N(0,1).

Сама оценка ® =g, так как g – линейная функция h.

 

Вопрос







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 620. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.016 сек.) русская версия | украинская версия








Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7