Квадратичные и линейные формы от нормальных случайных величин и их свойства
Пусть Пусть О- матрица с нулевыми элементами, In - единичная матрица порядка n. Рассмотрим свойства квадратичной формы. 1. Если ВА=О, то функции Q и t независимы. 2. Рассмотрим 2 квадратичные формы 3. Обозначим через tr A след квадратной матрицы (т.е. сумму ее диагональных элементов). Имеет место утверждение. Пусть Теорема 4.1. (теорема Фишера) Пусть Доказательство. Перейдем к новым случайным величинам Поэтому достаточно доказать, что Рассмотрим n – мерный вектор-столбец Закон распределения
Вопрос
|
выборка из 
Рассмотрим квадратичную форму 
и m линейных форм 
, 
или в матричных обозначениях 
, где 
- матрица, удовлетворяющая условию 
, B – прямоугольная матрица порядка mxn, а 
- вектор.
и 
, если АВ=ВА=О, то 
и 
независимы.
и ранг А=r 
n. Если матрица А идемпотентна (A2=A), то 
и при этом r=tr A.
– выборка из распределения 
. Тогда выборочное среднее 
и дисперсия 
независимы и при этом подчиняются следующим законам распределения 
, 
.
, 
, которые образуют выборку 
из N(0,1). Тогда 
и 
.
и 
независимы и при этом 
, 
.
и (nxn)-матрицу 
. Заметим, что 
, а 
. Отсюда 
, где матрица A=In-B идемпотентна. Теперь 
, и, следовательно, по свойству 1), 
и 
-независимы.
.
