ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ

Любая точечная оценка параметра представляет собой функцию T=T() выборки =(X₁,X₂,...,X_n), т.е. является случайной величиной. При каждой реализации выборки эта функция определяет единственное значение t=T() оценки, которое принимается за приближенное значение оцениваемой характеристики. Однако в каждом конкретном случае значение оценки может отличаться от значения параметра. Поэтому желательно знать и возможную погрешность, возникающую при использовании предлагаемой оценки. Например, указывая интервал (или область в случае векторного параметра), внутри которого с высокой вероятностью g находится точное значение оцениваемого параметра. При таком подходе говорят об интервальном или доверительном оценивании, а соответствующий интервал называют доверительным.

5.1. Понятие доверительного интервала

 

При статистической обработке результатов наблюдений часто необходимо не только найти оценку неизвестного параметра q, но и охарактеризовать точность этой оценки. С этой целью вводится понятие доверительного интервала. Рассмотрим доверительное оценивание скалярного параметра. При интервальном оценивании ищут две такие статистики T₁=T₁() и T₂=T₂(), что T₁<T₂, для которых при заданном gÎ(0,1) выполняется условие

(1)

в этом случае интервал (T₁(),T₂()) называют g-доверительным интервалом, вероятность g - доверительной вероятностью, а величина q=1-g - уровнем значимости. T₁() и T₂() - называются нижней и верхней доверительными границами соответственно. Таким образом g-доверительный интервал – это случайный интервал в параметрическом множестве Q:(T₁,T₂)ÌQ, зависящий от выборки (но не от q), который содержит (накрывает) истинное значение неизвестного параметра q с вероятностью, не меньшей g.

Условие (1) означает, что в большой серии независимых экспериментов, в каждом из которых получена выборка объема n в среднем g×100% из общего числа построенных доверительных интервалов содержит истинное значение параметра q. Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервального оценивания, зависит от объема выборки n и доверительной вероятности g. При увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением доверительной вероятности к единице (g®1) - увеличивается. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями. Обычно используются значения g, равные 0.90; 0.95; 0.99. иногда рассматривают односторонние доверительные интервалы, соответственно верхний (вида q<T₂()) и нижний (вида T₁()<q)), определяемые условиями, аналогичными (1), в которых опускают соответствующую вторую границу

P(q<T₂())=g или P(T₁()<q)=g.

 

Вопрос