Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Распределение хи-квадрат




Доверь свою работу кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

Пусть – независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону . Распределение случайной величины

(1)

назовем -распределением с степенями свободы.

Здесь – квадратичная форма. Число независимых слагаемых в формуле (1) называется числом степеней свободы и является параметром распределения , – натуральное число.

Найдем плотность вероятности -распределения с помощью характеристической функции слагаемого и ее свойств.

Характеристическая функция слагаемого будет:

= =

По свойству характеристической функции имеем:

= . (2)

Используя следствие из теоремы обращения, имеем:

Числовые характеристики -распределения находят с помощью характеристической функции (2)

Они имеют следующий вид:

математическое ожидание ,

мода ,

дисперсия ,

асимметрия ,

эксцесс .

При n в соответствии с центральной предельной теоремой -распределение сходится к нормальному

..

При используется аппроксимация нормальным распределением. Существуют таблицы:

P( ³ )=1- .

По этим таблицам при заданном n по вероятности p можно найти . Иногда табулированы значения функции распределения. Квантили -распределения определяются из таблиц или с помощью математических пакетов MATHCAD и STATISTICA,

Важным свойством -распределения является его воспроизводимость по параметру . Это означает, что сумма независимых случайных величин, распределенных по закону , распределена также по закону с числом степеней свободы, равным сумме степеней свободы слагаемых.

 

Теорема 4.2. Пусть =(X1,...,Xn) - выборка из распределения N(m,s2). Тогда выборочное среднее и дисперсия S2=S2(X) независимы; при этом

L =N(0,1);

L .

 

 

Вопрос

Распределение Стьюдента (t – распределение)

 

Распределением Стьюдента с n степенями свободы S(n) называется распределение случайной величины (стьюдентова отношения) , где случайные величины x и cn2 независимы и при этом L(x)=N(0,1). Иногда это распределение называют t-распределением (с n степенями свободы).

Плотность распределения можно найти с помощью стандартного метода вычисления плотности распределения частного двух независимых случайных величин, а именно:

, -¥<x<¥.

При n®¥, t®h~N(0,1).

При n³20 можно считать, что t~N (распределение Стьюдента аппроксимируется нормальным).

Существуют таблицы Ft(x)=P(t<x) и .

Существуют таблицы и для плотности распределения ft(x).

 

 

Теорема 4.2. Пусть выборка =(X1,X2,..., Xn) из генеральной совокупности x~N(a,s2) и

. (1)

( - выборочное среднее, S - выборочная дисперсия). Тогда при любом s2>0

L(t)=S(n-1).

т.е. случайная величина t распределена по закону Стьюдента с (n-1) степенями свободы.

Тот факт, что стьюдентово соотношение t, определенное уравнением (1), и его распределение не зависят от s2 используют при получении различных статистических выводов о среднем нормального распределения, когда дисперсия неизвестна, т.е. является «мешающим» параметром».

В некоторых задачах иногда нужно исключить влияние не только s2, но и среднего а. В этом случае можно делать статистические выводы, не зависящие от параметров а и s2, т.е. являющимися инвариантными относительно параметров модели. В таких задачах важна следующая теорема.

Теорема 4.3. Пусть =(X1,X2,...,Xn) и =(Y1,Y2,...,Yn) - две независимые выборки из одного и того же распределения N(a,s2); , S2( ); , S2( ) - соответствующие выборочные средние и дисперсии и пусть

.

Тогда при любых а и s2>0 L(t)=S(m+n-2), t - . случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с (m+n-2) степенями свободы).

 

Вопрос

Распределение Фишера – Снедекора

(F – распределение)

Пусть случайные величины и независимы и

Распределение случайной величины F называют распределением Снедекора с n и m степенями свободы, F-распределением или распределением дисперсионного отношения Фишера.

Плотность fn,m(x) распределения S(n,m) имеет вид:

, x>0

 

При n,m>30 - возможна аппроксимация нормальным распределением

S(n,m) h~N .

Существуют таблицы функции распределения fF(x)=P(F<x) и P(F³Fp)=p. Роль F-распределения в выборочной теории раскрывает следующая теорема.

Теорема 4.4. Пусть =(X1,X2,...,Xn) и =(Y1,Y2,...,Yn) - независимые выборки из распределений N(a1,s12) и N(a2,s22). S2( ), S2( ) - соответствующие выборочные дисперсии. Тогда при любых значениях параметров a1, a2, s12 и s22 случайная величина

.

распределена по закону Фишера с (n-1); (m-1) степенями свободы.Примем без доказательства.

 

Вопрос







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 585. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.026 сек.) русская версия | украинская версия