Распределение хи-квадрат

 

Пусть – независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону . Распределение случайной величины

(1)

назовем -распределением с степенями свободы.

Здесь – квадратичная форма. Число независимых слагаемых в формуле (1) называется числом степеней свободы и является параметром распределения , – натуральное число.

Найдем плотность вероятности -распределения с помощью характеристической функции слагаемого и ее свойств.

Характеристическая функция слагаемого будет:

= =

По свойству характеристической функции имеем:

= . (2)

Используя следствие из теоремы обращения, имеем:

Числовые характеристики -распределения находят с помощью характеристической функции (2)

Они имеют следующий вид:

математическое ожидание ,

мода ,

дисперсия ,

асимметрия ,

эксцесс .

При n в соответствии с центральной предельной теоремой -распределение сходится к нормальному

..

При используется аппроксимация нормальным распределением. Существуют таблицы:

P( ³ )=1- .

По этим таблицам при заданном n по вероятности p можно найти . Иногда табулированы значения функции распределения. Квантили -распределения определяются из таблиц или с помощью математических пакетов MATHCAD и STATISTICA,

Важным свойством -распределения является его воспроизводимость по параметру . Это означает, что сумма независимых случайных величин, распределенных по закону , распределена также по закону с числом степеней свободы, равным сумме степеней свободы слагаемых.

 

Теорема 4.2. Пусть =(X₁,...,X_n) - выборка из распределения N(m,s²). Тогда выборочное среднее и дисперсия S²=S²(X) независимы; при этом

L =N(0,1);

L .

 

 

Вопрос

Распределение Стьюдента (t – распределение)

 

Распределением Стьюдента с n степенями свободы S(n) называется распределение случайной величины (стьюдентова отношения) , где случайные величины x и c_n² независимы и при этом L (x)=N(0,1). Иногда это распределение называют t-распределением (с n степенями свободы).

Плотность распределения можно найти с помощью стандартного метода вычисления плотности распределения частного двух независимых случайных величин, а именно:

, -¥<x<¥.

При n®¥, t®h~N(0,1).

При n³20 можно считать, что t~N (распределение Стьюдента аппроксимируется нормальным).

Существуют таблицы F_t(x)=P(t<x) и .

Существуют таблицы и для плотности распределения f_t(x).

 

 

Теорема 4.2. Пусть выборка =(X₁,X₂,..., X_n) из генеральной совокупности x~N(a,s²) и

. (1)

( - выборочное среднее, S - выборочная дисперсия). Тогда при любом s²>0

L (t)=S(n-1).

т.е. случайная величина t распределена по закону Стьюдента с (n-1) степенями свободы.

Тот факт, что стьюдентово соотношение t, определенное уравнением (1), и его распределение не зависят от s² используют при получении различных статистических выводов о среднем нормального распределения, когда дисперсия неизвестна, т.е. является «мешающим» параметром».

В некоторых задачах иногда нужно исключить влияние не только s², но и среднего а. В этом случае можно делать статистические выводы, не зависящие от параметров а и s², т.е. являющимися инвариантными относительно параметров модели. В таких задачах важна следующая теорема.

Теорема 4.3. Пусть =(X₁,X₂,...,X_n) и =(Y₁,Y₂,...,Y_n) - две независимые выборки из одного и того же распределения N(a,s²); , S²(); , S²() - соответствующие выборочные средние и дисперсии и пусть

.

Тогда при любых а и s²>0 L (t)=S(m+n-2), t -. случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с (m+n-2) степенями свободы).

 

Вопрос

Распределение Фишера – Снедекора

(F – распределение)

Пусть случайные величины и независимы и

Распределение случайной величины F называют распределением Снедекора с n и m степенями свободы, F-распределением или распределением дисперсионного отношения Фишера.

Плотность f_n,m(x) распределения S(n,m) имеет вид:

, x>0

 

При n,m>30 - возможна аппроксимация нормальным распределением

S(n,m) h~N .

Существуют таблицы функции распределения f_F(x)=P(F<x) и P(F³F_p)=p. Роль F-распределения в выборочной теории раскрывает следующая теорема.

Теорема 4.4. Пусть =(X₁,X₂,...,X_n) и =(Y₁,Y₂,...,Y_n) - независимые выборки из распределений N(a₁,s₁²) и N(a₂,s₂²). S²(), S²() - соответствующие выборочные дисперсии. Тогда при любых значениях параметров a₁, a₂, s₁² и s₂² случайная величина

.

распределена по закону Фишера с (n-1); (m-1) степенями свободы. Примем без доказательства.

 

Вопрос