С помощью центральной статистики

 

Общий прием, с помощью которого можно построить доверительный интервал, состоит в следующем. Пусть модель F абсолютно непрерывна и существует случайная величина. G(;q), зависящая от q такая что:

1) распределение с.в. G(;q) не зависит от q,

2) при каждом Î функция G(;q) непрерывна и строго монотонна по q.

Такую случайную величину называют центральной статистикой (для q). Будем рассматривать только случай скалярного параметра q. Пусть для модели F построена центральная статистика G(;q) и f_G(g) ее плотность распределения. Функция f_G(g) от параметра q не зависит (условие 1), поэтому для любого gÎ(0,1) можно выбрать величины g₁<g₂ (многими способами) так, чтобы

P_q(g₁<G(;q)<g₂)= =g. (.2)

Определим теперь при каждом Î числа T_i(), i=1,2, где T₁()<T₂(), как решения относительно q уравнений

G(;q)= g _k, k=1,2 (3)

(однозначность определения этих чисел обеспечивается условием 2, наложенным на функцию G(;q)). Тогда неравенства g₁<G(;q)<g₂ эквивалентны неравенствам T₁()<q<T₂() (Рис. 5.1). Следовательно, формулу (2) можно переписать в виде

P_q(T₁()<q<T₂())=g, "q.

Таким образом, построенный интервал (T₁(),T₂()) является g - доверительным для q.

 

 

В конкретных задачах при построении центральной статистики для оцениваемой характеристики приходится учитывать специфику рассматриваемой модели. Однако, можно выделить класс моделей, для которых центральная статистика всегда существует и имеет простой вид. Именно: если функция распределения F(x,q) непрерывна и монотонна по параметру q, то можно положить

(4)

Действительно, непрерывность и монотонность по q здесь очевидны, а так как L _q(F(X_i;q))=R(0,1) при любом q, то распределение G(;q) не зависит от q. Из L (h)=R(0,1) следует, что L (-ln h)=Г(1,1). Таким образом, слагаемые в (4) независимы и каждое из них имеет распределение Г(1,1). Используя свойства гамма-распределения, окончательно получаем, что плотность распределения Г(1,n), т.е. , g>0. Отсюда и из формулы (2) получаем следующий метод построения доверительного интервала для q: при заданном g выбираем числа g₁<g₂ так, чтобы

Решая уравнения

, (5)

находим корни T₁()<T₂(). Тогда (T₁(),T₂()) - искомый доверительный интервал для q.

Наибольшая трудность в применении этой модели к конкретным задачам возникает при нахождении решений уравнений (5).

 

 

Вопрос

Доверительный интервал для среднего

 

Пусть по выборке =(Х₁,....,X_n) требуется построить доверительный интервал для неизвестного среднего q.в нормальной модели N(q,.s²). Известно, что в соответствии с теоремой Фишера L _q =N(0,1). Следовательно, в данном случае центральная статистика G(,q)= _.

Решения уравнений (3) имеют вид , поэтому g-доверительным для q. является любой интервал

, (6)

где g₁<g₂ - любые числа, удовлетворяются условию

Ф(g₁) - Ф(g₂)=g. (7)

Отметим, что хотя интервал D_g() случаен, его длина постоянна и равна

L_g(g₁,g₂) = , поэтому, чтобы среди всех интервалов вида (6) выбрать кратчайший, надо минимизировать функцию L_g(g₁,g₂) при условии (7).

Применяя метод Лагранжа нахождения условного экстремума, получаем следующую систему уравнений

где l - множитель Лагранжа; .

Отсюда находим, что j(g₁)=j(g₂). Так как функция j(x) - чётная, то g₁=g₂. Учитывая это, а также последнее уравнение и соотношение Ф(-х)=1-Ф(х), получаем равенство Ф(g₂)=(1+g)/2. Из него находим, что g₂=U_g=Ф^-1((1+g)/2), где (1+g)/2 - квантиль стандартного нормального распределения N(0,1)

Итак, оптимальным [среди интервалов D_g()] g-доверительным интервалом для параметра q. в модели N(q.,s²) является интервал

, (8)

т.е. симметричный относительно случайной точки интервал длины

, – квантиль стандартного нормального распределения порядка (1+g)/2.

 

Вопрос

Доверительный интервал для дисперсии

 

Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии q² в модели N(m, q²). Легко найти центральную статистику для t=t(q)=q²:

.

Действительно, так как L _q =N(0,1), то L _q (1) - стандартное c²- распределение. Следовательно, L _q (G (; t)) = c²(n).

Здесь , -

решения (относительно t) уравнений G(;t)=g_1,g₂. Следовательно g-доверительным для t=q² является в данном случае любой интервал.

 

D_g()= , (5.9)

где g₁<g₂ находят из условия

[ - плотность распределения хи-квадрат].

Как правило, g₁ и g₂ надо выбирать так, чтобы выполнялись равенства

, , (5.10)

т.е. ; , где – р - квантиль распределения c²(n). В этом случае соответствующий доверительный интервал называют иногда центральным. Соотношения (5.9), (5.10) определяют правила доверительного оценивания неизвестной дисперсии в модели N(m, q²). Задача отыскания наикратчайшего интервала среди интервалов вида (5.9) сводится к минимизации отношения g₂/g₁ при условии или, если положить ; (где a₁+a₂=1-g) к уравнению:

. (5.11)

Значения a₁ и a₂, удовлетворяющие (5.11), определяют оптимальный g-доверительный интервал вида (5.9)

. (5.9’)

Таким образом, центральный интервал в данном случае не является наикратчайшем. Нужно заметить, что центральной статистикой для оценивания среднеквадратичного отклонения q² является, очевидно .

 

 

Вопрос

Доверительные интервалы для среднего и дисперсии

 

Рассмотрим доверительное оценивание параметров в общей нормальной модели N(; ). Из теоремы Фишера следует, что

центральная статистика для оценивания дисперсии . Здесь - выборочная дисперсия. Доверительный интервал для находим по схеме предыдущего параграфа. Окончательно получаем: центральным g – доверительным интервалом для является интервал

.

В частности, для выборки объёма n=10 и доверительной вероятности g =0.9 имеем

=3.3251; =16.919.

Поэтому центральный 0.9 - доверительный интервал для имеет вид

(0.5911 , 3.007 ).

Наикратчайший в данном случае интервал

, a₁₊a₂=1-g, (5.12)

где и определяются соотношением (5.11), в котором n заменено на (n-1).

В силу теоремы 4.2 центральной статистикой для оценивания среднего q₁ является

,

где - выборочное среднее, - выборочное среднеквадратичное отклонение, причём распределение этой статистики (распределение Стьюдента S(n-1)) симметрично относительно своей средней точки. Расчёт доверительного интервала проводится также как и в параграфе 5.3. Окончательно получаем: g - доверительным для q₁ является интервал

, , (5.13)

где t_g,n-1 - (1+g)/2 - квантиль распределения S(n-1).

Построенный интервал имеет минимальную длину среди всех g-доверительных интервалов вида

,

Например, t_0,95;9=2.262, поэтому для выборки объёма n=10 и доверительной вероятности g=0.55 интервал (5.13) имеет вид

, .

Итак, получены формулы доверительных интервалов для параметров нормально распределённой генеральной совокупности. Эти формулы представлены в таблице.

 

Параметры	Доверительный интервал, доверительные вероятности g уровень значимости q=1-g
M s2- известно
M s2- неизвестно	< m <
s2 m- известно
s2 m- неизвестно

 

Вопрос