Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

С помощью центральной статистики




Доверь свою работу кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

Общий прием, с помощью которого можно построить доверительный интервал, состоит в следующем. Пусть модель F абсолютно непрерывна и существует случайная величина. G( ;q), зависящая от q такая что:

1) распределение с.в. G( ;q) не зависит от q,

2) при каждом Î функция G( ;q) непрерывна и строго монотонна по q.

Такую случайную величину называют центральной статистикой (для q). Будем рассматривать только случай скалярного параметра q. Пусть для модели Fпостроена центральная статистика G( ;q) и fG(g) ее плотность распределения. Функция fG(g) от параметра q не зависит (условие 1), поэтому для любого gÎ(0,1) можно выбрать величины g1<g2 (многими способами) так, чтобы

Pq(g1<G( ;q)<g2)= =g. (.2)

Определим теперь при каждом Î числа Ti( ), i=1,2, где T1( )<T2( ), как решения относительно q уравнений

G( ;q)= g k , k=1,2 (3)

(однозначность определения этих чисел обеспечивается условием 2, наложенным на функцию G( ;q)). Тогда неравенства g1<G( ;q)<g2 эквивалентны неравенствам T1( )<q<T2( ) (Рис. 5.1). Следовательно, формулу (2) можно переписать в виде

Pq(T1( )<q<T2( ))=g, "q.

Таким образом, построенный интервал (T1( ),T2( )) является g - доверительным для q.

 

 

В конкретных задачах при построении центральной статистики для оцениваемой характеристики приходится учитывать специфику рассматриваемой модели. Однако, можно выделить класс моделей, для которых центральная статистика всегда существует и имеет простой вид. Именно: если функция распределения F(x,q) непрерывна и монотонна по параметру q, то можно положить

(4)

Действительно, непрерывность и монотонность по q здесь очевидны, а так как Lq(F(Xi;q))=R(0,1) при любом q, то распределение G( ;q) не зависит от q. Из L(h)=R(0,1) следует, что L(-ln h)=Г(1,1). Таким образом, слагаемые в (4) независимы и каждое из них имеет распределение Г(1,1). Используя свойства гамма-распределения, окончательно получаем, что плотность распределения Г(1,n), т.е. , g>0. Отсюда и из формулы (2) получаем следующий метод построения доверительного интервала для q: при заданном g выбираем числа g1<g2 так, чтобы

Решая уравнения

, (5)

находим корни T1( )<T2( ). Тогда (T1( ),T2( )) - искомый доверительный интервал для q.

Наибольшая трудность в применении этой модели к конкретным задачам возникает при нахождении решений уравнений (5).

 

 

Вопрос

Доверительный интервал для среднего

 

Пусть по выборке =(Х1,....,Xn) требуется построить доверительный интервал для неизвестного среднего q.в нормальной модели N(q,.s2). Известно, что в соответствии с теоремой Фишера Lq =N(0,1). Следовательно, в данном случае центральная статистика G( ,q)= .

Решения уравнений (3) имеют вид , поэтому g-доверительным для q. является любой интервал

, (6)

где g1<g2 - любые числа, удовлетворяются условию

Ф(g1) - Ф(g2)=g. (7)

Отметим, что хотя интервал Dg( ) случаен, его длина постоянна и равна

Lg(g1,g2) = , поэтому, чтобы среди всех интервалов вида (6) выбрать кратчайший, надо минимизировать функцию Lg(g1,g2) при условии (7).

Применяя метод Лагранжа нахождения условного экстремума, получаем следующую систему уравнений

где l - множитель Лагранжа; .

Отсюда находим, что j(g1)=j(g2). Так как функция j(x) - чётная, то g1=g2. Учитывая это, а также последнее уравнение и соотношение Ф(-х)=1-Ф(х), получаем равенство Ф(g2)=(1+g)/2. Из него находим, что g2=Ug-1((1+g)/2), где (1+g)/2 - квантиль стандартного нормального распределения N(0,1)

Итак, оптимальным [среди интервалов Dg( )] g-доверительным интервалом для параметра q. в модели N(q.,s2) является интервал

, (8)

т.е. симметричный относительно случайной точки интервал длины

, – квантиль стандартного нормального распределения порядка (1+g)/2.

 

Вопрос

Доверительный интервал для дисперсии

 

Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии q2 в модели N(m, q2). Легко найти центральную статистику для t=t(q)=q2 :

.

Действительно, так как Lq =N(0,1), то Lq (1) - стандартное c2- распределение. Следовательно, Lq (G ( ; t)) = c2(n).

Здесь , -

решения (относительно t) уравнений G( ;t)=g1,g2. Следовательно g-доверительным для t=q2 является в данном случае любой интервал.

 

Dg( )= , (5.9)

где g1<g2 находят из условия

[ - плотность распределения хи-квадрат].

Как правило, g1 и g2 надо выбирать так, чтобы выполнялись равенства

, , (5.10)

т.е. ; , где – р - квантиль распределения c2(n). В этом случае соответствующий доверительный интервал называют иногда центральным. Соотношения (5.9), (5.10) определяют правила доверительного оценивания неизвестной дисперсии в модели N(m, q2). Задача отыскания наикратчайшего интервала среди интервалов вида (5.9) сводится к минимизации отношения g2/g1 при условии или, если положить ; (где a1+a2=1-g) к уравнению:

. (5.11)

Значения a1 и a2, удовлетворяющие (5.11), определяют оптимальный g-доверительный интервал вида (5.9)

. (5.9’)

Таким образом, центральный интервал в данном случае не является наикратчайшем. Нужно заметить, что центральной статистикой для оценивания среднеквадратичного отклонения q2 является, очевидно .

 

 

Вопрос

Доверительные интервалы для среднего и дисперсии

 

Рассмотрим доверительное оценивание параметров в общей нормальной модели N( ; ). Из теоремы Фишера следует, что

центральная статистика для оценивания дисперсии . Здесь - выборочная дисперсия. Доверительный интервал для находим по схеме предыдущего параграфа. Окончательно получаем: центральным g – доверительным интервалом для является интервал

.

В частности, для выборки объёма n=10 и доверительной вероятности g =0.9 имеем

=3.3251; =16.919.

Поэтому центральный 0.9 - доверительный интервал для имеет вид

(0.5911 , 3.007 ).

Наикратчайший в данном случае интервал

, a1+a2=1-g , (5.12)

где и определяются соотношением (5.11), в котором n заменено на (n-1).

В силу теоремы 4.2 центральной статистикой для оценивания среднего q1 является

,

где - выборочное среднее, - выборочное среднеквадратичное отклонение, причём распределение этой статистики (распределение Стьюдента S(n-1)) симметрично относительно своей средней точки. Расчёт доверительного интервала проводится также как и в параграфе 5.3. Окончательно получаем: g - доверительным для q1 является интервал

, , (5.13)

где tg,n-1 - (1+g)/2 - квантиль распределения S(n-1).

Построенный интервал имеет минимальную длину среди всех g-доверительных интервалов вида

,

Например, t0,95;9=2.262, поэтому для выборки объёма n=10 и доверительной вероятности g=0.55 интервал (5.13) имеет вид

, .

Итак, получены формулы доверительных интервалов для параметров нормально распределённой генеральной совокупности. Эти формулы представлены в таблице.

 

Параметры Доверительный интервал, доверительные вероятности g уровень значимости q=1-g
M s2- известно
M s2- неизвестно < m <
s2 m- известно
s2 m- неизвестно

 

Вопрос







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 334. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.033 сек.) русская версия | украинская версия