Статистические гипотезы

Статистической гипотезой (или просто гипотезой) называют любое утверждение о виде или свойствах распределения случайных величин, наблюдаемых в эксперименте.

Пусть эксперимент состоит в многократном измерении некоторой физической величины, точное значение a которой неизвестно и в процессе измерения не изменяется. На результаты измерений влияют многие случайные факторы (точность настройки измерительных приборов, погрешность округления при считывании данных и т.д.). Поэтому результат i-го измерения Х_i можно записать в виде Х_i=a+e_i, где e_i - случайная погрешность измерения. Считают, что общая ошибка e_i складывается из большого числа ошибок, каждая из которых невелика. На основании центральной предельной теоремы (ЦПТ) предполагается, что случайные величины Х_i имеют нормальное распределение. Такое предположение является статической гипотезой о виде распределения наблюдаемых случайных величин.

Если для исследуемого явления сформулирована гипотеза – обычно её называют основной или нулевой гипотезой и обозначают H₀ – то задача в том, чтобы по статистическим данным (или результатам соответствующих наблюдений) принять или отклонить эту гипотезу. Правило, по которому гипотеза H₀ принимается или отвергается, называется статистическим критерием (или просто критерием) проверки гипотезы H₀.

Если результат эксперимента описывается в терминах некоторой случайной величины (выборки) и F ={F} – семейство распределений рассматриваемой статистической модели (т.е. множества априори допустимых в данной ситуации распределений выборки), то в общем случае гипотеза Но задаётся указанием соответствующего класса F₀ Î F, которому, по предположению, принадлежит истинное распределение выборки. Это записывается так: H₀:F_xÎ F₀. Распределения из дополнительного класса F₁ = F \ F₀ называют альтернативными распределениями или альтернативами. Утверждение же вида H₁: F_xÎ F₁ называют альтернативной гипотезой. В этих терминах в общем случае задача формулируется как задача проверки H₀ против альтернативы Н₁. Гипотеза H₀ (или альтернатива H₁) называется простой, если соответствующий класс F₀ (F₁) содержит одно распределение. Сложной гипотезе соответствует более чем одно распределение. Гипотезы о параметрах распределения называются параметрическими.

Вопрос