Понятие параметрической гипотезы

Важный класс статистических гипотез составляют гипотезы об истинном значении неизвестного параметра, определяющего заданное параметрическое семейство распределений. В этом случае класс F допустимых распределений наблюдаемой случайной величины x имеет вид F= {F(x, ), ÎQ). Функции этого класса находят в соответствии со значениями параметра =(q₁,...,q_r) из некоторого параметрического множества Q. Гипотезы поэтому по существу относятся к неизвестным параметрам распределения и называются параметрическими. Примерами параметрических гипотез являются следующие утверждения:

1)Н₀: q=q₀, где q₀ÎQ - некоторое фиксированное значение параметра.

2)Н₀: q₁=q₂=...=q_r.

3)Н₀: g()=g₀, где g() - некоторая (в общем случае векторная) функция q, g₀ - фиксированное значение.

В общем случае параметрическая гипотеза задаётся указанием некоторого подмножества Q₀ÌQ, элементом которого является, по предположению, неизвестная параметрическая точка q.

Обозначение: Н₀: qÎQ₀.

Альтернативная гипотеза имеет вид Н₁: qÎQ₁=Q\Q₀; точки qÎQ₁ называют альтернативными.

Если множество Q₀ (Q₁) состоит из одной точки, то гипотезу Н₀ (альтернативу Н₁) называют простой, в противном случае гипотезу (или альтернативу) называют сложной. Например, гипотеза 1) - простая; 2) - сложная, а 3) - может быть как простой, так и сложной.

Поверка параметрической статистической гипотезы при помощи критерия значимости может быть разбита на следующие этапы:

1)сформировать проверяемую (Н₀) и альтернативную (Н₁) гипотезы;

2)назначить уровень значимости a;

3)выбрать статистику Т() критерия для проверки гипотезы Н₀;

4)определить выборочное распределение статистики Т при условии, что верна гипотеза Н₀;

5)в зависимости от формулировки альтернативной гипотезы определить критическую область ₁ одним из неравенств: Т>t_1-a; T<t_a или совокупностью неравенств Т> ;

T<

6)получить выборку наблюдений и вычислить выборочное значение статистики критерия T_b.

7)принять статистическое решение: если T_bÎ ₀, то принять Н₀, т.е. считать, что гипотеза Н₀ не противоречит результатам наблюдений; если T_bÎ ₁, то отклонить гипотезу Н₀, как не согласующуюся с результатами наблюдений.

Замечание.

Обычно на этапах 4 - 7 используют статистику, квантили которой табулированы: статистику с нормальным распределением N(0,1); статистику Стьюдента, статистику c² или статистику Фишера. Однако, в вычислении вероятности ошибок и интерпретацию решений удобно проводить для статистики, являющейся оценкой параметра θ, т.е. статистики .

Общие принципы построения критериев уже были рассмотрены, далее конкретизируем задачу. В случае параметрических гипотез функция мощности для произвольного критерия ₁ обозначается:

W()=W( ₁; )=P_q( Î ₁), ÎQ.

В случае рандомизированного критерия, который задаётся критической функцией j(х), имеем:

W()=W(j;q)=M_qj()

Условия (6.3) и (6.4) в новых обозначениях примут вид

W()£a, " ÎQ₀, (6.5)

W()®max, " ÎQ_1. (6.6)

 

 

Вопрос