Выбор из двух простых гипотез. Критерий Неймана-Пирсона

 

Проверяется простая параметрическая гипотеза против простой альтернативы. Параметрическое множество состоит из двух точек Q={q₀;q₁}. Основная (проверяемая) гипотеза утверждает Н₀: θ=θ₀, а альтернатива Н₁: θ=θ₁ . Необходимо построить правило, позволяющее на основе значений выборки принять или отвергнуть Н₀.

Решение задачи. Запишем вероятности ошибок

P(g₁|H₀)=P(g₁|q₀)= L (;q₀)d

L (x;q) - функция правдоподобия.

P(g₀|H₁)=P(g₀|q₁)= L (;q₁)d =1- L (;q₀)d

Зафиксируем значение вероятности ошибки первого рода P(g₁|H₀)=a. Будем искать критерий обеспечивающий (min) минимум вероятности ошибки 2-го рода. Он будет при условии

,

– отношение правдоподобия.

Учитывая, что l() и L (;q) – положительные, то максимум интеграла будет достигаться, если ={ : l()³c}.

Значение с выбирается из равенства:

Покажем, что такое разбиение приводит к наиболее мощному критерию.

Теорема Неймана - Пирсона. Пусть функции F₀(x)=F(x;q₀) и F₁(x)=F(x;q₁) – возможные распределения случайной величины x. Пусть они непрерывны по х. Отношение правдоподобия задаётся таким образом. Тогда при заданной вероятности ошибки 1-го рода существует наиболее мощные критерий , определяющий критическую область следующим образом ={ : l()³c}.

Доказательство: Рассмотрим любой другой критерий уровня значимости a. Тогда

Функция мощности для критерия выражается аналогично

Из второго равенства находим:

,

подставляем в первое равенство и получаем

+ - =

умножим и разделим на L (x;q₀) и получим

= + -

В соответствии с условиями теоремы:

={ : l()³c}; ={ : l()<c}

получаем

< +c( - ). (*)

Рассмотрим интегралы в скобках. Первый интеграл, как и второй, можно представить в виде:

= -

= -

По условиям теоремы уровень значимости равен a. Интегралы в выражении (*) в правой части совпадают и скобки равны 0, отсюда получаем < , т.е. более мощный критерий по сравнению с . В силу произвольности соотношение выполняется для всех критериев с уровнем значимости a, т.е. - наиболее мощный критерий.

Замечание

Критерий , построенный в соответствии с указанными условиями, называется критерием Неймана-Пирсона. Фиксируется вероятность ошибки 1-го рода и минимизируется вероятность ошибки 2-го рода.

 

Вопрос