Проверка гипотезы о равенстве дисперсий нормальных распределений

 

Пусть имеются две выборки из нормальных распределений:

=(X₁,...,X_n) ~ x ~ N(a₁, ) и

=(Y₁,...,Y_n) ~ h ~ N(a₂, ).

Выдвигаются гипотезы: H₀: q₁=q₂, H₁: q₁¹q₂ (сложные гипотезы). Нужно построить правило, позволяющее на основе значений выборок принять или отвергнуть гипотезу H₀. Воспользуемся статистикой, которая при гипотезе H₀ имеет известный закон распределения, а именно статистикой:

или F - распределение Фишера, при q₁=q₂, T= F. (, - соответствующие выборочные дисперсии).

При альтернативе возможны следующие варианты.

1) q₁>q₂, <1;

2) q₁<q₂, >1;

3) q₁<>q₂, <>1.

Для каждого случая критическая область выбирается по-разному.

1) h₁=U_{a/2,(n-1)(m-1)}; h₂=U_{1-a/2,(n-1)(m-1)};

2) Этот случай можно свести к 1), если выбрать статистику

.

Выпишем критерии, вероятности ошибок и функции мощности для указанных случаев.

1) t³h®g₁ t<h®g₀

h найдем из условия: ошибка 1-го рода равна заданному значению a.

P(g₁|H₀)=P(T³h|H₀)=1-P(T<h|H₀)=1-F _F (h)=a.

(F _F - распределение Фишера с (n-1), (m-1) степенями свободы)

Отсюда h=U_{1-a,(n-1)(m-1)} - квантиль распределения Фишера порядка (1-a) с указанными степенями свободы.

Вычислим вероятность ошибки 2-го рода:

P (g₀|H₁) =P(T<h|H₁) =P(T <h |H₁) =F _F ( h)

и функцию мощности:

W =1- P (g₀|H₁) = [1- F _F ( h)].

Если θ₂/θ₁ → ∞, W → 1

Если θ₂/θ₁ → 1, W → a

3) t³h₂ и t<h₁®g₁

t£h₂ и t>h₁®g₀

Найдем h₁ и h_­2 из условия:

P (g₁|H₀) =a

P (g₁|H₀) =P (T³h₂|H₀)+P(T<h₁|H₀)=a/2+a/2,

отсюда h₁=U_{a/2,(n-1)(m-1)}, h₂=U_{1-a/2,(n-1)(m-1)} - квантили распределения Фишера.

Вычислим вероятность ошибки 2-го рода:

P (g₀|H₁) =P(h₁<T£h₂|H₁) =P( h₁< F £ h₂|H₁) =F _F ( h₂)-

-F _F ( h₁)

и функцию мощности:

W =1-F _F ( h₂) +F _F ( h₁).

 

 

В данном случае критическая область двусторонняя. Поведение функции мощности можно представить так.

Если θ₂/θ₁ → 0, W → 1

Если θ₂/θ₁ → ∞, W → 1

Если θ₂/θ₁ → 1, W → a

 

 

Вопрос