Критерий согласия Колмогорова. Этот критерий применяют в тех случаях, когда функция F(x) непрерывна

 

Этот критерий применяют в тех случаях, когда функция F(x) непрерывна. Статистикой критерия является величина:

. (8.3)

Она представляет собой максимальное отклонение эмпирической функции распределения F_n(x) от гипотетической функции распределения F(x). Это является следствием следующей теоремы.

Теорема.8.1. Относительная частота произвольного события в n независимых испытаниях является оптимальной оценкой для вероятности этого события.

С увеличением объема выборки n происходит сближение F_n(x) с F(x). Поэтому при больших n (n®¥), когда гипотеза H₀ истинна, значение D_n не должно существенно отклоняться от нуля.

Особенностью статистики D_n является то, что ее распределение при гипотезе H₀ не зависит от вида функции F(x).

Теорема.8.2. Если F(x) - непрерывная функция, то при справедливости гипотезы H₀ закон распределения статистики D_n не зависит от вида функции распределения F(x).

Доказательство. Действительно, полагая в формуле (8.3) x=F^-1(u), 0£u£1, где F^-1(u) - функция, обратная к F(x), получаем:

.

Перейдем к новым случайным величинам, используя формулу U_i=F(X_i), i=1,...,n; пусть U₍₁₎£...£U_(n) - их вариационный ряд. Функция F(x) монотонна, поэтому U_(k)=F(X_(k)), k=1,...,n и неравенства F^-1(u)³ X_(k) эквивалентны неравенствам u³U_(k). Используя представление эмпирической функции распределения:

имеем:

.

Независимо от вида функции F(x) L (U_i)=R(0,1) и Ф_n(u) - эмпирическая функция распределения для выборки из равномерного распределения. ▓

Эта теорема позволяет вычислить и протабулировать распределение D_n только один раз (для выборки из равномерного R(0,1) распределения), и использовать ее для проверки гипотезы относительно произвольной непрерывной функции распределения F(x). Функция распределения статистики D_n табулирована при конечных значениях n. При n®¥ статистика D_n имеет закон распределения Колмогорова

.

Правило проверки гипотезы на основе критерия Колмогорова: подсчитывается значение статистики D_n~d_экс

d_экс³k_кр®g₁, d_экс<k_кр®g₀

k_кр находится из условия

=1-K(k_кр)=a или

1– =a. Отсюда

k_кр=K_1-a.

K_1-a - квантиль распределения Колмогорова порядка 1-a.

Замечания.

1. В отличие от критерия c², критерий Колмогорова требует точного задания функции F(x).

2. Критерий согласия Колмогорова теоретически обоснован для непрерывных случайных величин.

3. В отличие от критерия c² Пирсона, критерий Колмогорова можно использовать и при n<50 (даже при n³20).

 

Вопрос

Проверка гипотез о равенстве распределений.