Проверка гипотезы о математическом ожидании нормального распределения

Пусть случайная величина x имеет нормальное распределение с известной дисперсией s² и неизвестным средним q ~ N(q,s²), qÎ{q₀,q₁}, q₀<q₁. Необходимо построить критерий, позволяющий на основе значений выборки решить, какое значение имеет параметр q.

Н₀: q=q₀; Н₁: q=q₁.

Будем использовать критерий Неймана-Пирсона. Необходимо построить отношение и сравнить с некоторым порогом с~const.

l()³c - принимается решение g₁~ H₁:q=q₁,

l()<c - принимается решение g₀~ H₀:q=q₀.

Значение с находится из условия: P(g₁|H₀)=a

В виду монотонности экспоненты можно перейти к следующему неравенству

ln l(x) ≥ ln c, т.е.

[ ] ≥lnc.

В качестве статистики критерия при проверке простой параметрической гипотезы выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра q, т.е. выборочное среднее. Поэтому из этого неравенства определим выборочное среднее , после преобразований получим:

³ (*)

Обозначим через h правую часть равенства (*), и получаем следующий алгоритм

. (7.1)

Необходимо найти h из условия P(g₁|H₀)=a. Выборочное среднее имеет нормальный закон распределения с параметрами N(θ, σ/√n).

Определим ошибки первого и второго рода

a=P(g₁|H₀)=P( >h|q₀)= (7.2)

b= P(g₀|H₁)=P( £h|q₁)= . (7.3)

Обозначим u_g то значение, для которого 1-Ф(u_g)=g,

u_g носит название квантиль нормального распределения.

Тогда из (7.2), (7.3) и из того, что u_g=-u_1-g вытекает

(7.4)

,

отсюда определим h, т.е.

h=q₀+u_a =q₁-u_b

Из этого выражения найдём n

(7.5)

Равенство (7.5) даёт тот объём выборки, который при оптимальном критерии обеспечивает ошибки 1-го и 2-го рода (a и b). Если правая часть (7.5) - не целая, то за n надо брать ближайшее большее целое число

В соответствии с выражением (7.4) пороговое значение находится правее θ₀. Справа от h находится критическая область, слева – допустимая.

Функция мощности (это вероятность попадания выборки в критическую область) выражается через ошибки 1-го и 2-го рода следующим образом:

= ,

= .

Значение h называется критическим значением критерия. Слева от него находится допустимая область, справа – критическая область. На практике обычно считают известным уровень значимости α и объем выборки n, а h - критическое значение определяют из таблиц или с помощью пакетов MATHCAD и STATISTICA.

Уровень значимости α связан с критическим значением h приближенной формулой

α ≈ 1 - A(h),

где A(h) – функция распределения той статистики, которая используется при проверке гипотез. При большом объёме выборки критическое значение h совпадает с (1 – α) квантилью соответствующего распределения.

 

Вопрос