Проверка гипотезы о дисперсии нормального распределения

 

Пусть в модели x~N(a,s²) следует проверить простую гипотезу о неизвестной дисперсии, т.е. рассматриваются две гипотезы Н₀: q=q₀;

Н₁: q=q₁>q₀. Необходимо построить критерии Неймана - Пирсона для принятия решения.

В этом случае отношение правдоподобия

l(x)=

при условии, что а=0 приводит к статистике

Известно, что сумма квадратов случайных величин будет иметь c²-распределение с n степенями свободы, поэтому для решения задачи будем испытывать статистику

T= , TÎ(0,¥)

и T=q .

Алгоритм проверки гипотезы T³c®g₁ T<c®g₀

Найдём значение c из условия.

Ошибка первого рода:

P(g₁|H₀)=P(T³c|q₀)=P(q₀ ³c)=P( ³ )=1- =a, отсюда:

с= ×q₀

Здесь – функция распределения c² с n степенями свободы; – квантиль c²-распределения порядка (1-a).

Ошибка второго рода:

P(g₀|H₁)=P(T<c|q₁)=P(q₁ <c)=P( < )=b,

b= .

Замечание.

Статистика Т= предполагает, что математическое ожидание известно, поэтому Т=q . Если математическое ожидание неизвестно, то можно использовать статистику Т= . Для неё справедливо представление Т=q .

 

Вопрос

Проверка сложных статистических гипотез.

Гипотеза о равенстве математических ожиданий нормальных распределений

 

Пусть имеются две выборки из нормальных распределений

=(X₁,...,X_n), x ~ N(q₁,s₁)

=(Y₁,...,Y_n), h ~ N(q₂,s₂)

Н₀: θ₁=θ₂ Н₁: θ₁¹θ₂ - сложные гипотезы.

Необходимо построить правила, позволяющие на основе значений выборок и , принять или отвергнуть основную гипотезу.

Будем пользоваться статистикой

T= , ,

~N – выборочное среднее имеет нормальное распределение;

~N - аналогично.

- ~ N ;

T= ~N , .

При этом основная гипотеза и альтернатива могут быть сформулированы следующим образом: Н₀: θ₀=0 - простая гипотеза; Н₁: θ₀¹0 - сложная гипотеза.

Решение этой задачи иллюстрируется рисунками, приведенными ниже.

 

 

В связи с этим мы должны рассмотреть три случая

q₁>q₂, q₀>0

q₁<q₂, q₀<0

q₁¹q₂, q₀>0, q₀<0 (q₀<>0)

В каждом случае критическая область выбирается по-своему.

a) q₀>0 (q₁>q₂) критическая область правосторонняя. Алгоритм принятия решения в этом случае, как и в задаче проверки гипотезы о математическом ожидании нормального распределения, имеет вид

t³h®g₀ t<h®g₁

h находят из условия

P(g₁|H₀)=a (_*)

при Н₀, Т~N(0,1), поэтому

,

отсюда h=u_1-a.

 

Найдём вероятность ошибки 2-го рода

P(g₀|H₁)=P(T<h|H₁)=Ф(h-q₀)=b, при H₁ T~N(q₀;1).

Вероятность ошибки зависит от разности параметров.

Если ®0, то P(g₀|H₁)=1- P(g₁|H₀)~b=1-a.

Если параметры расходятся, т.е. q₀®¥, то P(g₀|H₁)®0 (b®0 - ошибка второго рода). Функция мощности при альтернативе будет иметь вид

W(q₀)=1-P(g₀|H₁)=1-Ф(h-q₀).

Исследуем поведение функции мощности при альтернативе для различных значений θ_0.

При q₀®¥ W(0)®1

b) q₀<0 (q₁<q₂). Алгоритм принятия решения запишется в виде

t<h®g₁ t³h®g₀.

Найдём h из следующего выражения

P(g₁|H₀)=P(T<h|H₀)=Ф(h)=a

h=u_a.

Найдём вероятность ошибки 2-го рода

P(g₀|H₁)=P(T³h|H₁)=1-P(T<h|H₁)=1-Ф(h-q₀).

Функция мощности имеет вид W(q₀)=1- P(g₀|H₁)=Ф(h-q₀).

c) q₀ = 0. Алгоритм принятия решения запишется в виде

|t|³h®g₁ |t|<h®g₀

 

 

P(g₁|H₀)=P(|T|³h|H₀)=1-P(|T|<h|H₀)=1-Ф(h)+Ф(-h)=2-2Ф(h)=a.

Используя свойство Ф(-h)=1-Ф(h).

h= .

Вероятность ошибки 2-го рода определяется следующим образом:

P(g₀|H₁)=P(|T|<h|H₁)=Ф(h-q₀)+Ф(-h-q₀)=Ф(h-q₀)+Ф(h+q₀)-1.

W(q₀)=1-P(g₀|H₁)=2-Ф(h-q₀)-Ф(h+q₀).

График функции мощности представлен на рисунке, как и ранее W(0)=P(g₁|H₀)=a, при q₀®±¥ функция мощности стремится к 1 (W(q₀)®1).

 

Из рассмотрения функций мощности для односторонних и двустороннего критерия можно сделать вывод, что двусторонний критерий всегда менее мощный, чем один из односторонних критериев или .

 

Вопрос