Критерий однородности хи - квадрат

 

Критерий однородности c² используют для проверки однородности дискретных данных, т.е. когда в опытах наблюдается некоторый переменный признак, принимающий конечное число различных значений Известно, что к такой схеме можно свести любую другую модель, применяя предварительно метод группировки данных. Поэтому критерий c² применим к анализу любых данных, т.е. является универсальным.

Пусть имеется k серий опытов, состоящих из наблюдений за случайной величиной x, которая может принимать одно из m возможных значений (x - дискретная случайная величина). Серии наблюдений характеризуются выборками

=(X₁,...,X_n1) ~ F₁(u)

=(Y₁,...,Y_n2) ~ F₂(u)

...............................

=(Z₁,...,Z_nk) ~ F_k(u).

F₁(u), F₂(u),...,F_k(u) - предполагаемые функции распределения.

Требуется проверить гипотезу H₀ о том, что все наблюдения производились над одной и той же случайной величиной

H₀: F₁(u)=F₂(u)=...=F_k(u)

против альтернативы H₁: хотя бы одно распределение не равно остальным.

Необходимо построить правило, позволяющее на основе значений выборок принять или отвергнуть H₀.

Для решения используется статистика

, (8.5)

где n_ij - число появлений i-го значения в j-ой серии,

- число появлений i-го значения во всех сериях;

n_j - объем j-ой серии;

n= - общий объем всех выборок.

При n®¥ (при увеличении объема выборок) статистика (8.5) будет иметь распределение c² с (m-1)(k-1) степенями свободы, т.е. при справедливости основной гипотезы. Отсюда следует критерий проверки гипотезы:

1) вычисляется g_экс;

2) при заданном уровне значимости ищется g_kp по таблицам распределения c²:

g_kp= ;

3) решение принимается следующим образом:

g_экс³g_kp®g₁ g_экс<g_kp®g_0.

Замечание.

Критерий c² применяется для непрерывной случайной величин x, тогда область возможных значений x можно разбить на подинтервалы и n_ij будет числом значений в j-той серии, попавших в i-ый подинтервал.