Метод моментов. Теоремы о свойствах оценок, полученных методом моментов

 

Исторически первым методом точечного оценивания неизвестных параметров является метод моментов, предложенный К. Пирсоном в 1894 году.

Суть метода в следующем. Пусть =(X₁,...,X_n) – выборка из распределения L (x)Î ; ={F(x; ); ÎQ}, где =(q₁,...,q_r) и QÍR^r. Предположим, что у наблюдаемой случайной величины. x существуют первые r моментов a_k=Mx^k, k=1,...,r. Они являются функциями от неизвестных параметров : a_k=a_k(). Рассмотрим соответствующие выборочные моменты A_nk().

 

Пусть a_k=A_nk() – значения этих величин для наблюдавшейся реализации выборки . Тогда метод моментов состоит в приравнивании значений a_k и теоретических моментов:

a_k()=a_k, k=1,...,r (1)

Решая эти уравнения относительно q₁,...,q_r, получаем значения оценок параметров.

Замечания.

1). Число уравнений в системе (1) должно совпадать с числом неизвестных параметров.

2). В системе уравнений (1) могут одновременно присутствовать уравнения как для начальных, так и для центральных моментов.

Рассмотрим теоретическое обоснование этого метода:

Теорема 3.4. Известно, что выборочные моменты A_nk() являются несмещёнными и состоятельными оценками теоретических моментов a_k().

Доказательство: Проверим выполнение достаточного условия состоятельности:

, n®¥, т.е. условие состоятельности выполнено.

Теорема 3.5. Если существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между параметрами q₁,...,q_r и начальными моментами a₁,...,a_r, т.е. существуют непрерывные функции j₁,...,j_r такие, что q_i=j_i(a₁,...,a_r), i=1,...,r.Тогда решения уравнений (1) можно записать в виде ,, а оценки являются состоятельными оценками соответствующих параметров.

Доказательство: В силу теоремы Слуцкого оценки метода моментов будут сходиться по вероятности к оцениваемому параметру при n®¥, т.е. статистики являются состоятельными оценками q_i,i=1,...,r.

Таким образом, метод моментов при определённых условиях приводит к состоятельным оценкам; при этом уравнения (1) во многих случаях просты и их решение (в отличие от метода МП) не связано с большими вычислительными трудностями.

Когда теоретические моменты нужного порядка отсутствуют (например, распределение Коши), метод моментов неприменим. Оценки метода моментов, вообще говоря, не эффективны. Их обычно используют в качестве первых приближений, на основании которых можно определять другими методами оценки с большей эффективностью..

 

 

Вопрос