Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод моментов. Теоремы о свойствах оценок, полученных методом моментов




Доверь свою работу кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

Исторически первым методом точечного оценивания неизвестных параметров является метод моментов, предложенный К. Пирсоном в 1894 году.

Суть метода в следующем. Пусть =(X1,...,Xn) – выборка из распределения L(x)Î={F(x; ); ÎQ}, где =(q1,...,qr) и QÍRr. Предположим, что у наблюдаемой случайной величины. x существуют первые r моментов ak=Mxk, k=1,...,r. Они являются функциями от неизвестных параметров : ak=ak( ). Рассмотрим соответствующие выборочные моменты Ank( ).

 

Пусть ak=Ank( ) – значения этих величин для наблюдавшейся реализации выборки . Тогда метод моментов состоит в приравнивании значений ak и теоретических моментов:

ak( )=ak, k=1,...,r (1)

Решая эти уравнения относительно q1,...,qr, получаем значения оценок параметров.

Замечания.

1). Число уравнений в системе (1) должно совпадать с числом неизвестных параметров.

2). В системе уравнений (1) могут одновременно присутствовать уравнения как для начальных, так и для центральных моментов.

Рассмотрим теоретическое обоснование этого метода:

Теорема 3.4. Известно, что выборочные моменты Ank( ) являются несмещёнными и состоятельными оценками теоретических моментов ak( ).

Доказательство: Проверим выполнение достаточного условия состоятельности:

, n®¥, т.е. условие состоятельности выполнено.

Теорема 3.5. Если существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между параметрами q1,...,qr и начальными моментами a1,...,ar, т.е. существуют непрерывные функции j1,...,jr такие, что qi=ji(a1,...,ar), i=1,...,r.Тогда решения уравнений (1) можно записать в виде ,, а оценки являются состоятельными оценками соответствующих параметров.

Доказательство: В силу теоремы Слуцкого оценки метода моментов будут сходиться по вероятности к оцениваемому параметру при n®¥, т.е. статистики являются состоятельными оценками qi ,i=1,...,r.

Таким образом, метод моментов при определённых условиях приводит к состоятельным оценкам; при этом уравнения (1) во многих случаях просты и их решение (в отличие от метода МП) не связано с большими вычислительными трудностями.

Когда теоретические моменты нужного порядка отсутствуют (например, распределение Коши), метод моментов неприменим. Оценки метода моментов, вообще говоря, не эффективны. Их обычно используют в качестве первых приближений, на основании которых можно определять другими методами оценки с большей эффективностью..

 

 

Вопрос







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 1112. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.017 сек.) русская версия | украинская версия