Свойства оценок максимального правдоподобия

1. Эффективность.

Теорема 3.1. Если существует эффективная оценка Т() для скалярного параметра q, то = Т().

Доказательство: Это очевидное следствие критерия эффективности Рао-Крамера

.

Приравняем к 0 и получим = Т().

2. Достаточность.

Теорема 3.2. Если имеется достаточная статистика Т=Т(), а о.м.п. существует и единственна, то она является функцией от достаточной статистики Т.

Доказательство: Согласно критерию факторизации справедливо разложение:

L (;q)=g(T();q) h()

.

Решаем уравнение относительно q.

Получаем, =j (Т()) – некоторая функция статистики, а это есть оценка МП, что и требовалось доказать.

Следовательно, зависит от статистических данных через Т().

3. Инвариантность.

Полезным свойством оценок максимального правдоподобия (МП) является их инвариантность относительно преобразований параметра.

При решении уравнений правдоподобия относительно параметра оказывается, что их проще решать относительно функций от него, например, , и т.д. Обозначим эту функцию через и допустим, что – взаимно однозначная дифференцируемая функция, т.е. . Тогда, если через и обозначить оценки максимального правдоподобия параметров и , то .

Доказательство. Действительно, для регулярной модели функция правдоподобия относительно записывается так: = , откуда . Оценка максимального правдоподобия определяется как корень уравнения . Но при , т.е. когда . Поскольку по условию , то последнее уравнение эквивалентно , откуда следует, что .

 

 

Вопрос