Свойства оценок максимального правдоподобия
1. Эффективность. Теорема 3.1. Если существует эффективная оценка Т( Доказательство: Это очевидное следствие критерия эффективности Рао-Крамера
Приравняем к 0 и получим 2. Достаточность. Теорема 3.2. Если имеется достаточная статистика Т=Т( Доказательство: Согласно критерию факторизации справедливо разложение: L (
Решаем уравнение относительно q. Получаем, Следовательно, 3. Инвариантность. Полезным свойством оценок максимального правдоподобия (МП) является их инвариантность относительно преобразований параметра. При решении уравнений правдоподобия относительно параметра Доказательство. Действительно, для регулярной модели функция правдоподобия относительно
Вопрос
|
) для скалярного параметра q, то 
= Т(
.
;q)=g(T(
.
оказывается, что их проще решать относительно функций от него, например, 
, 
и т.д. Обозначим эту функцию через 
и допустим, что 
– взаимно однозначная дифференцируемая функция, т.е. 
. Тогда, если через 
и 
обозначить оценки максимального правдоподобия параметров 
.
записывается так: 
= 
, откуда 
. Оценка максимального правдоподобия определяется как корень уравнения 
. Но 
при 
, т.е. когда 
. Поскольку по условию 
, то последнее уравнение эквивалентно 
, откуда следует, что 
