Асимптотическая нормальность выборочных моментов

Введем дополнительные обозначения. Если распределение случайн0й величины h_n сходится при n®¥ к распределению случайной величины h и при этом L(h)=N(m,s²), то будем писать L(h_n)®N(m_n,s_n²). Будем считать, что случайная величина h_n асимптотически нормальна с параметрами m_n,s_n², N(m_n,s_n²) и записывать это так L(h_n)~N(m_n,s_n²). Это означает, что L ®N(0,1).

Исследуем распределения выборочных характеристик для больших выборок (n®¥). Каждый выборочный момент A_nk представляет собой сумму n независимых и одинаково распределенных случайных величин, поэтому к нему можно применить центральную предельную теорему. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.6: Выборочный момент A_nk асимптотически нормален N(a_k, ( a_2k- a_k²)/n)

Доказательство: Так как (см. формулы (1.11)) ; , то по центральной предельной теореме L(h_n)®N(0,1),

где

.

Следовательно, случайная величина A_nk асимптотически нормальна с параметрами a_k и (a_2k- a_k²)/n.

Эта теорема позволяет оценивать для больших выборок вероятность заданных отклонений значений выборочных моментов от теоретических. Действительно, из этой теоремы имеем, что при любом фиксированном t>0 и n®¥

.

В частности, из теоремы 1.6 следует, что выборочное среднее =A_n1 асимптотически нормально N(a₁,m ₂/n).

Отметим, что если L(x)=N(a₁, m₂ ) , то случайная величина как сумма независимых нормальных случайных величин также нормальна с параметрами a₁ и m ₂/n, т.е. в этом случае L( )=N(a₁, m ₂/n) при любом n. Центральные выборочные моменты M_nk также при n®¥ обладают свойством асимптотической нормальности.

Вопрос