Асимптотическая нормальность выборочных моментов
Введем дополнительные обозначения. Если распределение случайн0й величины hn сходится при n®¥ к распределению случайной величины h и при этом L (h)=N(m,s2), то будем писать L (hn)®N(mn,sn2). Будем считать, что случайная величина hn асимптотически нормальна с параметрами mn,sn2, N(mn,sn2) и записывать это так L (hn)~N(mn,sn2). Это означает, что L Исследуем распределения выборочных характеристик для больших выборок (n®¥). Каждый выборочный момент Ank представляет собой сумму n независимых и одинаково распределенных случайных величин, поэтому к нему можно применить центральную предельную теорему. Имеет место следующая теорема. Теорема 1.6: Выборочный момент Ank асимптотически нормален N(ak, (a2k- ak2)/n) Доказательство: Так как (см. формулы (1.11)) где
Следовательно, случайная величина Ank асимптотически нормальна с параметрами ak и (a2k- ak2)/n. Эта теорема позволяет оценивать для больших выборок вероятность заданных отклонений значений выборочных моментов от теоретических. Действительно, из этой теоремы имеем, что при любом фиксированном t>0 и n®¥
В частности, из теоремы 1.6 следует, что выборочное среднее Отметим, что если L (x)=N(a1, m2 ), то случайная величина
Вопрос
|
®N(0,1).
; 
, то по центральной предельной теореме L (hn)®N(0,1),
.
.
=An1 асимптотически нормально N(a1,m 2/n).
