О построении математических моделей косвенных измерений

При прямых измерениях результат получается из опытных данных нескольких измерений одной и той же величины.

При косвенных измерениях результат получается на основании опытных данных прямых измерений нескольких различных величин, связанных функциональной зависимостью.

Начнем с задачи. Пусть задана электрическая цепь (рисунок). Измеряя напряжение U вольтметром, а силу тока I амперметром, можно найти сопротивление R. Результаты будут более точными и надежными, если повторим измерения несколько раз, а еще лучше – проведем измерения при нескольких различных значениях U (меняя источник тока в цепи).

Для решения задачи воспользуемся законом Ома

U=RI

Предположим, что при таком эксперименте для определения неизвестного сопротивления R получены результаты (таблица)

Рисунок – электрическая цепь

 

I,A	0,010	0,018	0,031	0,042	0,050	0,061	0,072
U,B	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0

На основании экспериментальных данных нужно найти сопротивление. Равенством выражается прямая пропорциональная зависимость U от I. Поставим задачу в более общем виде: для функции y=kx найти такое k, при котором сумма квадратов разностей между эмпирическими значениями y_i и соответствующими значениями kx_i, т.е.

F(k)= (1)

минимальна.

Пользуясь (1), находим производную и приравниваем ее к нулю

Если эту формулу применим к таблице (1), получим с двумя значащими цифрами: R=98 (Ом).

Поскольку выдача результатов расчета связана с определенной ответственностью, целесообразно их контролировать, при этом большую пользу приносят разного рода прикидки. Учитывая, что самыми достоверными являются данные в конце таблицы, оценим их с помощью значения R= (Ом), что хорошо согласуется с результатом, полученным по методу наименьших квадратов.

Для функции y=kx+b, k и b определяют так, чтобы минимальной была сумма квадратов

для чего необходимо выполнение условий:

 

откуда

решая эту систему, находят значения параметров k и b.

Задача: В «Основах химии» Д.И.Менделеев приводит данные растворимости азотно-натриевой соли на 100 г воды в зависимости от температуры (таблица 2)

 

t
y	66,7		76,3	80,6	85,7	92,9	99,4	113,6	125,1

и указывает, что эту зависимость можно выразить формулой. Проверьте это.

Применение метода наименьших квадратов действительно приводит к указанной формуле при тех округлениях значений коэффициентов, которые в ней приведены. Однако следует заметить, что точности данных верхней строки грубые, они не согласованы с данными нижней строки, поэтому погрешности в коэффициентах указанной формулы занижены.

Теперь прикинем результат простім рас четом. Поскольку в рассматриваемой задаче зависимость между переменными имеет вид y =kt+b,то при t=0 на основании таблицы сразу оцениваем

b=66,7 67, далее из последних табличных значений аргумента и функции, как наиболее достоверных, находим k:

и формула принимает вид y=0,86t+67, коэффициенты который незначительно отличается от результата Менделеева.

«Этот метод можно применить и к формуле другого вида, даже содержащим более одной независимой переменной и (или) любое число параметров, если эти параметры входят линейно в искомую формулу. Если это не так, то иногда оказывается возможным ввести новые переменные так, чтобы это условие было выполнено.

приведем пример. Пусть эксперимент привел к значениям:

x=0,00;0,10;0, 20; 0,30;0,40; 0,50;0,60;0,70;0,80;0,90;1,00;

y=0,00;0,01;0,03;0,08;0,17;0,29;0,45;0,66;0,91;1,22;1,57.

Выполняем изображение экспериментальных точек на миллиметровке. Необходимо напомнить о степенной функции вида y=a ,в которую параметр b входит нелинейно. Поэтому прологарифмируем это равенство и обозначим lg y=Y, lg x=X, lg a+A.

Мы приходим к формуле Y=bX+A,в которую параметры A и b входят линейно. В новых переменных таблица имеет вид:

X=-1,0000; -0,6990;-0,5229; -0,3979; -0,3010; -0,2218;-0,1549;-0,0969; -0,0458;0,0000;

Y=-2,0000; - 1,5229; -1,0969; - 0,7696; -0,5376; -0,3468;-0,1805; -0,0410;0,0864; 0,1959.

Применение метода наименьших квадратов дает значение b=2, 2734, A=0, 16079 откуда a=1, 4481, и с учетом точности исходных данных мы получаем приближенную формулу

y= . Отметим, что на полученные значения параметров могут существенно повлиять погрешности при измерении малых значений y. Для повешения достоверности результата следует либо повысить точность этого измерения, либо игнорировать эти значения при применении метода».