Математическая модель прямых измерений

Классическая математика учит действиям над числами, которые заданы точно, тогда как в подавляющем большинстве случаев, величины, с которыми приходиться иметь дело на практике, получают с помощью измерений и потому соответствующие им числа лишь приближенно выражают точные, но неизвестные нам значения реальных величин. Для повышения их точности стремятся сделать как можно больше измерений. Итак, требуется как можно лучше оценить «истинное значение» некоторой величины х, для чего проводится n прямых измерений, результаты которых представлены системой уравнений:

х=х₁+e_1,

х=х₂+e_2,

_{…………….}

х=х_k+e_k,

_{…………….}

х=х_n+e_n.

Здесь x_k – результаты измерений, а e_k – их ошибки.

По методу наименьших квадратов наилучшим приближенным значением для x является такое число, для которого минимальна сумма квадратов отклонений от x_k, т.е. сумма квадратов ошибок e_к:

F (x)=

Для определения точки экстремума этой функции, как обычно, находим производную и приравниваем ее к нулю откуда

(2)

Поскольку F(x)- квадратный трехчлен относительно х и F(x)>0, то в точке экстремума функция достигает наименьшего значения.

Итак, модель 2 показывает, что в рассматриваемом случае метод наименьших квадратов и выбор среднего арифметического значения результатов измерений эквивалентны, что служит подтверждением практической полезности метода наименьших квадратов.