Об устойчивости решений относительно погрешностей в исходных данных

Если математической моделью задачи является система линейных алгебраических уравнений, то следует иметь в виду, что ее коэффициенты имеют конкретный смысл. Они часто получаются в результате измерений и поэтому известны приближенно. Но тогда приходится решать систему, в которой известные величины заданы приближенно.

Не так уж редко в таких случаях малые погрешности в исходных данных вызывают достаточно большие погрешности в решениях, которые таким образом оказываются практически непригодными, неустойчивыми, а соответствующие им задачи плохо обусловленными.

Рассмотрим систему уравнений:

(5.4)

которая имеет единственное решение: . Считая в ней все коэффициенты, кроме 11, точными заменим 11 на 11,1, тогда система примет вид

(5.5)

единственным решением которой будет: .

Итак, малая погрешность в коэффициенте правой части первого уравнения системы (5.4) вызывает большие погрешности в решении. Это значит, что решение системы (5.4) неустойчиво.

Теперь обратимся к системе:

(5.6)

Она имеет единственное решение: .

Как и в предыдущем примере, будем считать все коэффициенты, кроме 39, точными. Заменим в системе (5.6) 39 на 39,1 и решив систему

(5.7)

найдём: х = 15,06, у = 12,02, т.е. малое изменение правой части первого уравнения системы (5.6) вызывает малые изменения в её решении. Значит, решение системы (5.6) устойчивое.

Конечно, при рассмотрении прикладных задач, важно знать, какое решение найдено: неустойчивое или устойчивое, добротное, которое может быть использовано на практике.