МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АПОРИИ «АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА» И ЕЕ РАЗРЕШЕНИЕ

Определение суммы ряда

Для этого рассмотрим полоску бумаги длиной 1 (дм) и шириной 1 (см) (рисунок 11.1)

A C1 C2 C3 B

 

 

C1 C2 C3

Рисунок 11.1 – Модель полоски бумаги

 

Мысленно разрежем (или сложим) её пополам по отрезку , затем разрежем (или сложим) правую часть пополам по отрезку и т. д. до бесконечности. Тогда ; ; ; … .

Теперь очевидно, что (11.2)

и левая часть равенства (11.2), представляющая сумму бесконечного числа слагаемых, не только имеет смысл, но и равна 1, т. е. длине всей полоски. Но как найти сумму, находящуюся в левой части равенства (11.2), не зная заранее, что она равна 1.

Для этого сначала рассмотрим сумму первых n слагаемых

,

представляющую для геометрической прогрессии сумму n её первых членов, которая в общем случае равна

, (11.3)

где – первый член геометрической прогрессии, знаменатель которой ≠ 1.

Теперь определим бесконечную сумму, состоящую из членов геометрической прогрессии при . Из (11.3) следует, что

. (11.4)

Так как в случае полоски длины 1, , то на основании (11.4) , что совпадает с (11.2). Итак, сумма членов бесконечной геометрической прогрессии при вычисляется по формуле (11.4).

Отметим, что великий русский писатель Л. Н. Толстой на первой странице третьей части третьего тома романа «Война и мир» приводит описание другой апории Зенона «Ахиллес и черепаха»:

Для человеческого ума непонятна абсолютная непрерывность движения. Человеку становятся понятны законы какого бы то ни было движения только тогда, когда он рассматривает произвольно взятые единицы этого движения. Но вместе с тем из этого - то произвольного деления непрерывного движения на прерывные единицы проистекает большая часть человеческих заблуждений. Известен так называемый софизм древних, состоящий в том, что Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идёт в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдёт пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдёт впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдёт эту десятую, черепаха пройдёт одну сотую и т. д. до бесконечности. Задача эта представлялась древним неразрешимой. Бессмысленность решения (что Ахиллес никогда не догонит черепаху) вытекала из того только, что произвольно были допущены прерывные единицы движения, тогда как движения и Ахиллеса и черепахи совершались непрерывно. Принимая всё более и более мелкие единицы движения, мы только приближаемся к решению вопроса, но никогда не достигаем его. Только допустив бесконечно – малую величину и восходящую от неё прогрессию до одной десятой и взяв сумму этой геометрической прогрессии, мы достигаем решения вопроса». Таким образом, и эта апория разрешается математически существованием суммы бесконечной прогрессии при (в общем случае при) в формуле (11.4).