МЕТОД ПОДОБИЯ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Рассмотрим следующие виды подобий:

1) геометрическое подобие: две геометрические фигуры подобны, если отношения длин всех соответственных элементов одинаковы.

2) физическое подобие: два объекта называются физически подобными, если при заданных характеристиках одного можно получить соответствующие характеристики другого простым пересчетом, аналогичным пересчету при геометрическом подобии.

 

По-видимому, на практике исторически первым применялось математическое моделирование, основанное на принципе подобия алгебраически описываемом пропорцией, представляющей равенство двух отношений или с функциональной точки зрения – функцией .

Для получения необходимых экспериментальных данных с целью определения величин, входящих в пропорцию или коэффициента в линейную функцию используются удобные для исследования масштабы.

Рассмотрим геометрическое подобие:

Пусть, например, требуется определить высоту треугольной в плане башни, не производя непосредственно измерение высоты (рисунок 1). Если имеется фотоснимок башни, то, используя условие подобия можно довольно просто получить результат.

Рисунок 1 – Подобие объектов

 

Измерив легкодоступный размер на натуре и размеры и на модели (фотоснимке) на основании подобия, составим пропорцию и найдем: .

Такой подход всегда применим, если известно, что соответствующие фигуры подобны. В этой связи отметим, что точнее было бы говорить о подобии математических моделей объектов, так как сами объекты могут обладать и некоторыми особенностями, не включенными в модель.

 

Рисунок 9.2 – подобие кругов

– длина окружности радиуса , – длина окружности радиуса

 

Поскольку все окружности (круги) подобны, то, рассмотрев рисунок 9.2, можно написать равенство

или () и, следовательно, . Постоянное число можно определить из эксперимента с любым круговым диском (моделью). Так, взяв и измерив длины его диаметра и граничной окружности, легко оценим .

Установим также формулу площади круга. Так как все круги подобны, то из того же рисунка на основании теоремы о том, что площади подобных фигур относятся как квадраты сходственных отрезков, следует:

или , где – константа. Поэтому .

Учитывая, что все круги подобны, приходим к выводу, что – величина постоянная: и может быть приближенно определена экспериментально, например, взвешиваниями круга и единичного квадрата, вырезанных из однородного тонкого картона. При этом получается: . Итак, .

Поскольку объемы пространственных подобных фигур относятся как кубы сходственных отрезков, то для двух шаров, большие круги которых указаны на рисунке 9.2, имеем:

или , где – константа.

Поэтому , т.е. и может быть, как указано выше, определено экспериментально, погрузив полностью шарик от подшипника в мерный сосуд с водой: , точно .

Отметим, что площади сферических поверхностей относятся как квадраты их радиусов и потому , где –константа. Следовательно, , причем нетрудно выразить через .

В случае геометрического подобия изучение натуры при помощи ее модели довольно простое: отношение длин сходственных отрезков постоянно, площади подобных фигур пропорциональны квадратам длин их сходственных линий, объемы подобных тел, а также объемы любых соответственных их частей пропорциональны кубам длин их сходственных линий.

В современной теории подобия достаточные признаки подобия формулируются с помощью безразмерных комплексов величин, представляющих собой произведение степеней этих величин называемых критериями подобия. Рассмотрим этот вопрос в связи с геометрическим подобием фигур. Для этого заметим, что всякий объект может быть задан однозначно определяющими его параметрами. Например, круг однозначно определяется радиусом, треугольник тремя сторонами, двумя сторонами и углом между ними и т. п. Еще раз подчеркнем, что в подобных фигурах отношения длин соответствующих (сходственных) линейных элементов не изменяются! Именно эта неизменность отношений жестко связана с постоянством углов между соответствующими отрезками подобных фигур, что позволяет измерять углы отвлеченными числами, равными отношениям длин линейных элементов тех фигур, которым принадлежат углы.

Итак, построим угол с вершиной в точке О (рисунок 9.3) и проведем две любые дуги разного радиуса от одной стороны этого угла до другой. Так как оба образовавшиеся секторы подобны, то отношение длины дуги к длине соответствующего радиуса будет одинаковым и постоянным для данного угла. Это значит, что указанное отношение, т.е. число, однозначно определяет величину угла. Следовательно, этим числом можно измерять его величину. Такая мера угла, как известно, называется радианной.

Из рисунка 9.3 имеем: .

Рисунок 9.3 – Радианная мера угла .

 

Рассмотрим треугольник, определяемый двумя сторонами и углом между ними (рисунок 9.4).

Рисунок 9.4 – Треугольник с определяющими параметрами

 

безразмерная величина (число) – критерий подобия. Из двух величин «а» и «b», очевидно, можно составить только один независимый безразмерный комплекс (все другие могут через него выражаться, зависеть от него) . Теперь нетрудно установить, что если у двух треугольников критерии и – одинаковы, то они подобны. Действительно: пусть второй треугольник однозначно определяется параметрами Φ, А, В, тогда при , , т.е. , и следовательно, треугольники подобны.

Соответствующие признаки подобия треугольников и многоугольников могут быть переформулированы в терминах критериев подобия.

Подчеркнем, что при геометрическом подобии, длины элементов объектов, связанные с натурой, могут быть получены простым пересчетом соответствующих величин, относящихся к модели и наоборот.