Выпуклость непрерывной функции

Определение 30.1. Непрерывная на интервале (a,b) функция f, называется выпуклой вниз (соответственно, выпуклой вверх), если для любых точек , , и любого числа справедливо неравенство

(1)

(соответственно, неравенство

. (1’)

В правой части неравенства (1) стоит значение функции f в произвольной точке , расположенной на отрезке , содержащемся в интервале (a,b). Левая часть в (1) выражает собой ординату точки координатной плоскости, абсцисса которой равна , , и которая лежит на прямолинейном отрезке (хорде), соединяющем точки и графика функции f.

Итак, если непрерывная функция f выпукла вниз на интервале (a,b), то для любых его точек , , график функции f на отрезке расположен ниже хорды, стягивающей концевые точки графика на этом отрезке (см. рис.1, а)).

 

Рис.1

 

Аналогично, заключаем, что если непрерывная функция f выпукла вверхна интервале (a,b), то для любых его точек , , график функции f на отрезке расположен выше хорды, стягивающей концевые точки графика на этом отрезке (см. рис.1, b)).

Обозначим . Тогда , откуда .

Неравенство (1) принимает вид

 

, (2)

или, после умножения обеих частей его на множитель ,

. (3)

Поскольку , то после элементарных преобразований неравенство (4) переходит в неравенство

, (4)

справедливое для любого .

Итак, условие (1) равносильно неравенству (4).

В случае выпуклости вверх знаки неравенств (2)-(4) следует сменить на противоположные.