Выпуклость непрерывной функции
Определение 30.1. Непрерывная на интервале (a,b) функция f, называется выпуклой вниз (соответственно, выпуклой вверх), если для любых точек
(соответственно, неравенство
В правой части неравенства (1) стоит значение функции f в произвольной точке Итак, если непрерывная функция f выпукла вниз на интервале (a,b), то для любых его точек
Рис.1
Аналогично, заключаем, что если непрерывная функция f выпукла вверхна интервале (a,b), то для любых его точек Обозначим Неравенство (1) принимает вид
или, после умножения обеих частей его на множитель
Поскольку
справедливое для любого Итак, условие (1) равносильно неравенству (4). В случае выпуклости вверх знаки неравенств (2)-(4) следует сменить на противоположные.
|
, 
, и любого числа 
справедливо неравенство
(1)
. (1’)
, расположенной на отрезке 
, содержащемся в интервале (a,b). Левая часть в (1) выражает собой ординату точки координатной плоскости, абсцисса которой равна 
, и которая лежит на прямолинейном отрезке (хорде), соединяющем точки 
и 
графика функции f.
. Тогда 
, откуда 
.
, (2)
,
. (3)
, то после элементарных преобразований неравенство (4) переходит в неравенство
, (4)
.
