Выпуклость графика функции

Пусть Тогда в каждой точке её графика есть касательная, уравнение которой:

Определение. Функция называется выпуклой вниз на (a,b), если (т.е точка графика лежит над касательной к этому графику в любой точке )

Выпуклость вверх определяется условием:

Теорема1. Если производная - возрастающая на (a,b) функция, то - выпуклая вниз на (a,b)

► = , где лежит между и x, по теореме Лагранжа, все условия которой, разумеется, выполнены.

Пусть . Тогда >0 и , поэтому -

Если же ., то <0, и снова - ◄

Аналогично доказывается, что если удовлетворяет на (a,b), то график - выпуклая вверх функция.

Примером служит функция полезности, полезность продукта с ростом насыщения падает, что означает выпуклость графика этой функции вверх.

Если имеет вторую производную на (a,b), то из теоремы 1 следует:

Если >0 на (a,b), то график функции выпуклый вниз, если <0 - то вверх.

В качестве примера рассмотрите и

Точка, в которой направление выпуклости меняется на противоположное, называется точкой перегиба. Если существует то, поскольку в точке перегиба производная имеет экстремум, в ней вторая производная равна 0, т.е.

Например, имеет в =0 перегиб, так как слева от =0 т.е при x<0, <0, и при x>0, >0.

В самой точке =0 =0

Разумеется, равенство - это необходимое условие точки перегиба. Оно не является достаточным, как показывает пример функции . Она имеет вторую производную , которая не меняет знак, но обращается в 0 в точке =0. Эта функция выпукла вниз на R.

Достаточное условие точки перегиб даёт такое утверждение:

Пусть непрерывны на (a.b) и пусть в точке выполнены условия: .

Тогда если n – нечётное число, то - точка перегиба, если n – чётное число, то в нет перегиба.

Для доказательства используем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

- , где при

Из условий следует, что

-

Рассуждая, как в случае вопроса о точках экстремума, получаем, что знак первой части совпадает со знаком , если n – чётное число, и меняется, если n – нечётное число (при x из окрестности точки ) Это доказывает утверждение.