Выпуклость дифференцируемой функции
Теорема 30.1. Для того, чтобы дифференцируемая на функция f была выпукла вниз (вверх) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы её производная функция не убывала (не возрастала) на этом интервале. ◄Доказательство проведём для выпуклой вниз функции. Докажем сначала, что её производная не убывает. Пусть
Переходя в неравенстве (4) к пределу при
Из неравенств (5) и (6) следуют неравенства Обратно, пусть производная функция
Аналогично, по теореме Лагранжа, применённой к отрезку . Так как
|
, 
. Переходя в неравенстве (4) к пределу при 
, получим:
. (5)
, получим:
. (6)
, что и требовалось доказать.
не убывает на 
. Пусть 
дифференцируема на 
где 
, находим:
. (7)
. (8)
, из которого следует, ввиду (7) и (8), неравенство (4), равносильное выпуклости вниз рассматриваемой функции.►
