Пространство , множества в нем

Напомним, что арифметическое n-мерное пространство представляет собой множество точек
Это векторное пространство с операциями суммы и произведения на число , определяемыми так

Более того это – евклидово пространство со скалярным произведением . Следовательно, определена норма вектора , равная
и расстояние между и ,заданное формулой

(31.1)

При и эта формула становится очевидной формулой для расстояний на плоскости и в пространстве, поэтому общую формулу (31.1) для расстояния можно рассматривать как естественное обобщение известных формул на случай n -мерного пространства.

В курсе линейной алгебры было доказано:

1. , причем ;

2. ;

3.

Свойство 3 называется неравенством треугольника.

Определение 31.1 Множество, на котором определена функция , обладающая свойствами 1-3, называется метрическим пространством,
а - метрикой (или расстоянием) а этом пространстве.

Итак, - метрическое пространство с расстоянием (31.1).

 

Определение 31.2 - окрестностью точки называется множество точек таких, что . Обозначим ее

Определение 31.3 Пусть . Тогда называется внутренней точкой этого множества, если .

Определение 31.4 - открытое множество, если все его точки – внутренние.

Примеры: интервал в , круг без границы в .

 

(())

Определение 31.5 Пусть . Точка называется предельной точкой множества , если .

Определение 31.6 называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.

Примеры: отрезок в , круг с границей в .

Замечание. Часто вместо «круглых» окрестностей рассматривают «прямоугольные», т.е. .

Легко видеть, что каждую «круглую» окрестность можно вписать в «прямоугольную» и наоборот.

Определение 31.7 Множество называется компактным если из любой бесконечной системы открытых множеств такой, что можно выбрать конечное число так, что .

Иными словами, из любого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Теорема 31.1 компактно тогда и только тогда, когда оно ограниченное (т.е. содержится в некотором шаре с центром в начале координат) и замкнутое (без доказательства).