Вопрос 33. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные

Пусть определена в некоторой окрестности точки , - точка из этой окрестности.

Определение 33.1 Величина называется приращением функции в точке, соответствующим приращению аргумента .

Определение 33.2 Функция называется дифференцируемой в точке , если существуют такие постоянные числа и функции при (18.1)

Часто обозначают и . Тогда (18) перепишем в виде .

При наше определение (18.1) совпадает с известными из материала 1-го семестра определением дифференцируемости . Для функций одной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае нескольких переменных ситуация несколько сложнее.

Сначала введем в рассмотрение величину . Она представляет собой приращение функции при фиксированных значениях всех производных, кроме i -той.

Пусть дифференцируема в точке . Тогда для любого равенство (18.1) дает при (18.2)

Поскольку при фиксированных значениях равносильно тому, что , равенство (18.2) означает, что функция одной переменной .

дифференцируема в точке и, значит, существует
(18.3)
называемый, по определению, частной производной функции по переменной в точке .

Мы только что, тем самым, доказали теорему:

Теорема 33.1. Если дифференцируема в точке , то для всех существуют .

Таким образом, существование частных производных – необходимое условие дифференцируемости. При этом при .

Другое необходимое условие дифференцируемости – непрерывность функции, как показывает следующая теорема.

Теорема 33.2. Если дифференцируема в точке , то .

Доказательство. Достаточно доказать, что при , , (т.к. ). Но это сразу следует из равенства (18.1), так как .

Однако, в отличие от случая , из существования частных производных ,определенных равенством (18.3) не следует даже непрерывность функции в точке и тем более не следует дифференцируемость в точке , согласно теореме(18.2).

Пример. . Тогда , так как . Аналогично, . Однако даже не непрерывна в точке .

Достаточное условие дифференцируемости дает следующая теорема.

Теорема 33.3. Пусть частные производные существуют в окрестности точки и непрерывны в этой точке. Тогда дифференцируема в точке .

Доказательство. Пусть принадлежит рассматриваемой окрестности . При этом все точки так же принадлежат рассматриваемой окрестности. Приращение функции представим в виде (4)

и рассмотрим разности (5) составляющие в сумме приращение (4).

Положим (то есть фиксируем все переменные, кроме ). Тогда рассматриваемая разность (5) имеет вид . Функция по условию дифференцируема на отрезке, соединяющим и . Значит, она непрерывна на этом отрезке и можно применить теорему Лагранжа, согласно которой , где .

Но . По условию непрерывности частных производных , где при .

Поэтому каждая из разностей (5) имеет вид , а приращение (4) совпадает с (3) из определения дифференцируемости. Теорема доказана.

Замечание 1. Непрерывность частных производных не является необходимым условием дифференцируемости функций. Например можно доказать, что функция дифференцируема в точке , но частные производные в этой точке не непрерывны.

Замечание 2. Тем не менее, для функции частные производные в точке равны 0, так как и (в остальных точках , и ясно, что эти производные терпят разрыв в точке . Но приращение не имеет вид , где при . Действительно, полагая и предполагая, что получаем , или что невозможно, так как при правая часть стремится к 0, а левая нет!