Вопрос 34. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных содержатся в следующей теореме

Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных содержатся в следующей теореме.

Теорема 19.1. Пусть частные производные , существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке . Тогда дифференцируема в точке .

◄Ограничимся случаем .

Пусть точки и принадлежат рассматриваемой окрестности точки . Рассмотрим приращение функции в точке : и представим его в виде:

. (19.1)

Зафиксировав , рассмотрим функцию от переменной вида

. (19.2)

Поскольку в существуют частные производные, функция дифференцируема на любом промежутке, содержащем и . Применим поэтому теорему Лагранжа, согласно которой

, где . (19.3)

По определению частной производной,

. (19.4)

Поэтому

. (19.5)

Аналогичным образом,

. (19.6)

Из (19.1), (19.5) и (19.6) получаем:

. (19.7)

Далее, при → точки и стремятся к точке .

Непрерывность частных производных в этой точке означает, что их можно представить в виде

,

, (19.8)

где при → .

Из (19.7) и (19.8) следует представление

,

означающее дифференцируемость функции .►

Замечание. Непрерывность частных производных не является необходимым условием дифференцируемости функций. Например, можно доказать, что функция

дифференцируема в точке (0,0), но частные производные в этой точке не непрерывны (без доказательства).

Замечание. Тем не менее для функции частные производные в точке (0,0) равны 0, так как и (в остальных точках , и ясно, что эти производные терпят разрыв в точке (0,0)). Но приращение не имеет вид , где при .

Действительно, полагая и предполагая противное, т. е. что функция дифференцируема в (0,0), т. е. , получаем , или , что невозможно, так как при правая часть стремится к нулю, а левая – нет!