Матрица Якоби и ее свойства
Пусть
Называется матрицей Якоби. В случае
Предположим, что Для этого отображения, по теореме о производной сложной функции, В случае, когда
По доказанному, в случае композиции отображений
Если отображение Отметим важное правило для вычисления якобиана в случае Доказательство этого правила состоит в применении правила дифференцирования сложной функции и последующих алгебраических преобразований. Ввиду громоздкости мы его опускаем.
|
- функции, задающие некоторое отображение из 
в 
. Предположим, что эти функции имеют частные производные по всем переменным 
в некоторой точке 
. Тогда матрица
, т. е., когда рассматривается функция 
, то матрица Якоби состоит из одного элемента 
. Поэтому эту матрицу можно считать обобщением понятия производной. Как уже отмечалось, для дифференциала отображения, соответствующего приращению 
, имеем
.
и что, в свою очередь, 
Это приводит к сложному отображению (или композиции отображений) 
, где использованы краткие записи 
,
, 
,
,
.
,
.
, определитель матрицы Якоби
, 
, 
,
имеет обратное отображение, т.е. 
, то 
, т.е. 
, если 
.
, если 
.
, 
,
, 
, 
.
