Матрица Якоби и ее свойстваПусть - функции, задающие некоторое отображение из в . Предположим, что эти функции имеют частные производные по всем переменным в некоторой точке . Тогда матрица Называется матрицей Якоби. В случае , т. е., когда рассматривается функция , то матрица Якоби состоит из одного элемента . Поэтому эту матрицу можно считать обобщением понятия производной. Как уже отмечалось, для дифференциала отображения, соответствующего приращению , имеем . Предположим, что и что, в свою очередь, Это приводит к сложному отображению (или композиции отображений) , где использованы краткие записи Для этого отображения, по теореме о производной сложной функции, В случае, когда , определитель матрицы Якоби По доказанному, в случае композиции отображений , Если отображение имеет обратное отображение, т.е. , то , т.е. , если . Отметим важное правило для вычисления якобиана в случае Доказательство этого правила состоит в применении правила дифференцирования сложной функции и последующих алгебраических преобразований. Ввиду громоздкости мы его опускаем.
|