Матрица Якоби и ее свойства

Пусть - функции, задающие некоторое отображение из в . Предположим, что эти функции имеют частные производные по всем переменным в некоторой точке . Тогда матрица

Называется матрицей Якоби. В случае , т. е., когда рассматривается функция , то матрица Якоби состоит из одного элемента . Поэтому эту матрицу можно считать обобщением понятия производной. Как уже отмечалось, для дифференциала отображения, соответствующего приращению , имеем

.

Предположим, что и что, в свою очередь, Это приводит к сложному отображению (или композиции отображений) , где использованы краткие записи
,
, ,
,
.

Для этого отображения, по теореме о производной сложной функции,
,
поэтому имеет место равенство:
.

В случае, когда , определитель матрицы Якоби

называется якобианом отображения.

По доказанному, в случае композиции отображений
, ,
выполняется равенство

,

Если отображение имеет обратное отображение, т.е. , то , т.е. , если .
Эта формула обобщает правило для производной обратной функции
, если .

Отметим важное правило для вычисления якобиана в случае
, ,
, , .

Доказательство этого правила состоит в применении правила дифференцирования сложной функции и последующих алгебраических преобразований. Ввиду громоздкости мы его опускаем.