Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вопрос 39. Производные высших порядков




Если функция обладает в некоторой окрестности точки частной производной , а эта производная обозначается . Далее индуктивным образом можно определить производные более высокого порядка. Возникает вопрос: всегда ли ?

Ответ на него такой: нет, не всегда! Можно показать, что функция имеет неравные производные и . Однако имеет место следующая теорема.

Теорема 39.1. Пусть определена в открытой области и пусть в этой области существуют . Пусть и непрерывны в точке . Тогда в этой точке

Доказательство. Пусть числа такие, что область содержит все точки из прямоугольника со сторонами от до и от до . Пусть .

Положим , тогда .

В промежутке , по условию теоремы, функция имеет производную . И, значит, непрерывна, причем по теореме Лагранжа (вновь по теореме Лагранжа) , где , .

С другой стороны, аналогично, получаем , где , .
Следовательно, устремляя к , получаем, ввиду непрерывности , . Таким образом, теорема доказана.

Замечание. По аналогии можно доказать следующую теорему.

Теорема 39.2. Пусть определена в открытой области и имеет в этой области всевозможные частные производные до -го порядка включительно и смешанные производные -го порядка, причем все эти производные непрерывны в . При этих условиях значение любой -ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производится последовательное дифференцирование.

Например, и т.п.







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 124. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.005 сек.) русская версия | украинская версия