Вопрос 39. Производные высших порядков

Если функция обладает в некоторой окрестности точки частной производной , а эта производная обозначается . Далее индуктивным образом можно определить производные более высокого порядка. Возникает вопрос: всегда ли ?

Ответ на него такой: нет, не всегда! Можно показать, что функция имеет неравные производные и . Однако имеет место следующая теорема.

Теорема 39.1. Пусть определена в открытой области и пусть в этой области существуют . Пусть и непрерывны в точке . Тогда в этой точке

Доказательство. Пусть числа такие, что область содержит все точки из прямоугольника со сторонами от до и от до . Пусть .

Положим , тогда .

В промежутке , по условию теоремы, функция имеет производную . И, значит, непрерывна, причем по теореме Лагранжа (вновь по теореме Лагранжа) , где , .

С другой стороны, аналогично, получаем , где , .
Следовательно, устремляя к , получаем, ввиду непрерывности , . Таким образом, теорема доказана.

Замечание. По аналогии можно доказать следующую теорему.

Теорема 39.2. Пусть определена в открытой области и имеет в этой области всевозможные частные производные до -го порядка включительно и смешанные производные -го порядка, причем все эти производные непрерывны в . При этих условиях значение любой -ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производится последовательное дифференцирование.

Например, и т.п.