Дифференциалы высших порядков
Пусть При этом, если Пусть .(2) Здесь мы воспользовались тем, что
Вообще, легко заметить, что, используя формальную операторную запись,
Аналогично, полагая
В предположении, что для Доказательство этого утверждения можно провести индукцией по Отметим, что если Именно, вместо (3) в этом случае верна формула «Добавок» по отношению к (3) получается, из-за того (см. вывод (2)), что в нашем случае Однако, если
|
- имеет непрерывные производные в области 
. Тогда 
.(1)
- независимые переменные, то 
можно считать постоянными величинами, не зависящими от 
. Поэтому 
, 
.
имеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Положим по определению 
.Например, при 
, при n=3 
.
(3)
, находим:
(4)
существуют частные производные до k - го порядка включительно.
. Мы не будем подробно останавливаться на этом.
(т.е. переменные 
не независимые, а представляют собой функции от других переменных), то, вообще говоря, они не равны 0 и, хотя ввиду инвариантности 1-го дифференциала, формула (1) сохраняется, уже в формулах (2) и (3) (не говоря о (4)) следует внести изменения.
(5).
.
(6), то 
и 
. Поэтому в случае линейной замены переменных (6) формулы (3) и (4) сохраняются.
