Вопрос 36. Касательная плоскость

Пусть дифференцируема в точке . Докажем, что существует касательная плоскость к этой поверхности в точке и что она задается уравнением (20.1).

По аналогии с одномерным случаем (прямая называется касательной к кривой в точке , если расстояние от точки до этой прямой представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем при . При этом касательная имеет уравнение ) будем называть плоскость касательной к поверхности в точке , если расстояние от точки до этой плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем при .

Рассмотрим некоторую плоскость, проходящую через точку : (20.2)

Из курса аналитической геометрии известно, что расстояние от точки поверхности до плоскости (20.2) равно (20.3)

(вспомнить про нормальное уравнение плоскости).

Если дифференцируема в точке , то положим в (20.2) (20.4)

и заметим, что (20.5)

где при . Тогда из (3), (4), (5) следует, что расстояние от рассматриваемой точки до плоскости есть , что представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем .

Обратно, если есть касательная плоскость (2), т.е. , где при то, раскрывая модуль, получаем, что , где при , т.е. - дифференцируемая в точке функция и .