Справедливо для всех, тогда и только тогда, когда функция выпукла вверх на

◄ Доказательство проведём для случая выпуклой вниз функции. Пусть сначала дифференцируемая функция выпукла вниз на . Тогда, какустановлено в теореме 30.1, справедливы неравенства (5) и (6).Неравенство (5) можно преобразовать к равносильному виду

. (9)

Преобразование состоит в умножении обеих частей неравенства (5) на положительный знаменатель и замене обозначений: точку заменяем на , а точку на точку , считая, что . Точно также, при , преобразуем неравенство (6), заменяя точку на точку , а точку на . После этого преобразования снова получим неравенство (9).

Таким образом, если дифференцируемая функция выпукла вниз на интервале , то для всех выполняется неравенство (9). Для выпуклой вверх функции имеем, соответственно,

.

Обратно, пусть для всех выполняется неравенство (9).

Рассмотрим произвольные точки , . Применяя неравенство (9) к точке и считая , получим неравенство , а применяя его к точке и считая , получаем неравенство , на основании которых, с учётом условия , имеем

.

Следовательно, производная функции не убывает на . По теореме 30.1 функция выпукла вниз на . ►

Геометрически свойство выпуклости вниз дифференцируемой функции f на означает, что её график в пределах этого интервала располагается выше касательной, проведенной в любой точке графика; для выпуклой вверх дифференцируемой функции картина противоположная (см. рис. 2).

Рис.2

Замечание 1. Если обозначить

,
то свойство выпуклости вниз(вверх) дифференцируемой функции на равносильно тому, что для любой точки неравенство () справедливо для всех . Отметим, что