Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования

Каждой паре чисел х ₁ и х ₂ поставим в соответствие точку плоскости (2-мерного пространства) с координатами х ₁ и х ₂, тогда каждое ограничение (2.2.1) задает полупространство, а вся система (2.2.1) определяет многоугольник (в n -мерном пространстве – многогранник), полученный в результате их пересечения. В общем случае многогранник может быть неограниченным или пустым (система неравенств противоречива).

В примере 2.2.1 множество допустимых планов соответствует на плоскости множеству точек многоугольника OABCD(рис 2.2.1.).

Целевая функция F=5 х ₁ + 6 х ₂ определяет на плоскости семейство прямых линий (в n -мерном пространстве – плоскостей), параллельных друг другу, причем, чем дальше прямая от точки О, тем большее значение принимает целевая функция. Таким образом, оптимальное решение будет в точке многоугольника OABCD, где целевая функция касается этого многоугольника при удалении от точки О.

х 2
11	(I)
10
9
8
7F
6					n
5A		B
4
3	n2			C					(III)
2							(II)
1	n1	2	3	4	5 D	6	7	8	9	10	11	12	14	15

O Рис.2.2.1. Графическое представление задачи 2.2.1. х ₁

 

В нашем примере это будет вершина многоугольника С с координатами (примерно) х ₁=4.5; х ₂=3. Для точного определения координат точки С рассмотрим уравнения прямых, пересечение которых ее образовало.

Получаем систему из двух уравнений:

2 х ₁ + 1 х ₂ = 12,

2 х ₁ + 3 х ₂ = 18,

решив которую получим точные значения х ₁=4.5; х ₂=3.

Метод решения системы линейных уравнений может быть использован любой, однако, в целях сокращения объема вычислений при дальнейшем изложении предлагается метод Крамера.

Напомним кратко его суть:

Для решения системы

a ₁₁ х ₁ + a ₁₂ х ₂ = b ₁,

a ₂₁ х ₁ + a ₂₂ х ₂ = b ₂,

вычисляем D = a ₁₁ a ₂₂ - a ₁₂ a ₂₁,

D1 = b ₁ a ₂₂ - a ₁₂ b ₂,

D2 = a ₁₁ b ₂ - b ₁ a ₂₁,

и затем х ₁ = D1 / D; х ₂ = D2 / D.

В нашем примере: D=2´3 – 1´2 = 4,

D1 = 12´3 – 1´18 = 18,

D2 = 2 ´18 – 12 ´2 = 12,

откуда х ₁ = 18/4 = 4.5, х ₂ = 12/4 = 3 (совпало с первоначальным приближением).

Вычислим значение целевой функции в точке С:

F = 5 ´ 4.5 + 6 ´3 = 40.5.

Таким образом мы решили поставленную задачу, нашли объемы производства х ₁ первого и х ₂ второго вида продукции, удовлетворяющие ограничениям (2.2.1) и доставляющие максимальное значение целевой функции F = 40.5 усл.ед.

Пример 2.2.2. Рассмотрим еще одну задачу (ее часто называют задачей о диете, хотя аналогичной математической моделью можно описывать задачи, ничего общего с диетой не имеющие).

Таблица 2.2.2

Виды кормов	Содержание в 1 кг	Себестоимость 1 кг (усл. ед).
Кормовых ед.	Белок (г)	Кальций (г)
Сено (х 1)	0.5			1.5
Концентраты (х 2)				2.5
Норматив

Под нормативом понимается необходимый минимум питательных веществ суточного рациона. В этой задаче необходимо найти такие объемы кормов х ₁, х ₂, чтобы обеспечить содержание в них кормовых единиц, белка и кальция не менее нормативного при минимальной стоимости. Опять же предполагая, что количество полезных веществ, а также стоимость пропорциональны объемам кормов, получаем следующую математическую модель задачи:

(I) 0.5 х ₁ + 1 х ₂ ³ 20

(II) 50 х ₁ + 200 х ₂ ³ 2000

(III) 10 х ₁ + 2 х ₂ ³ 100 (2.2.2)

х ₁ ³ 0, х ₂ ³ 0,

F =1.5 х ₁ + 2.5 х ₂® min.

Геометрическую интерпретацию данной задачи приведем на рис.2.2.2.

х 2
50
A
(II)
40
35
30
F		n
20	B
(III)
10					(I)
5							C

^{5 10 15 20 25 30 35 40} х ₁

Рис.2.2.2. Графическое представление задачи 2.2.2

В данном случае множество допустимых планов представляет собой неограниченный многоугольник, заштрихованный на рис.2.2.2.

Целевая функция принимает наименьшее значение в точке В.

Визуально на графике координаты этой точки х ₁ @ 7, х ₂ @ 17.

Сделаем аналитическую проверку:

D=0.5´2 – 1´10 = –9,

D1 = 20´2 – 1´100 = –60,

D2 = 0.5 ´100 – 20 ´10 = –150.

Откуда х ₁ = –60 / –9 = 6.67, х ₂ = –150 / –9 = 16.67.